瓦里安對偏好連續性的定義是否等同於標准定義？
以下是偏好連續性的兩個定義。用≽表示（弱）偏好關係。我們假設完整性、自反性和及物性。僅在必要時才假設不滿足或嚴格單調（如果您這樣做，請提及）。
**定義 1（標準）：**如果 $ (x_n) $ 和 $ (y_n) $ 是兩個序列使得 $ x_n \to x $ 和 $ y_n \to y $ , 那麼如果 $ x_n ≽ y_n $ 對全部 $ n $ ， 我們有 $ x ≽ y $ .
**定義 2 (Varian/NS)：**如果 $ x \succ y $ 和 $ z $ 是“足夠接近” $ x $ ， 然後 $ z \succ y $ .
我們能證明這兩個是等價的嗎？
這是一個嘗試。
證明 Def。2 意味著定義。1：假設不是。假設 Varian 的定義。那麼如果我們有 $ (x_n) $ 和 $ (y_n) $ 使用給定的標準，結果將是 $ y ≽ x $ （由於完整性）。由於（對於所有 $ n $ ) $ y_n $ 足夠接近 $ y $ ，由定義。2、 $ y_n ≽ y $ 一般來說，這不一定是正確的。因此，Def。2 意味著定義。1.
我們可以證明 Def. 1 意味著定義。2？似乎我們需要額外的條件，但我無法弄清楚所有需要的條件，如果有的話。
注意：“足夠接近”是 Varian 使用的非正式術語，因此您可以這樣對待它 - 如果 $ x $ 和 $ z $ 足夠接近，也就是說，如果 $ z $ 在於 $ \epsilon $ - 球 $ x $ （書面 $ B(x,\epsilon) $ ）， 然後 $ \epsilon > 0 $ 可以根據需要設置為小。
編輯： Varian/Nicholson_Snyder 使用了現在已被納入的嚴格偏好。
瓦里安（微觀經濟分析，第 95 頁）所說的是：
如果 $ x $ 嚴格優先於 $ y $ 而如果 $ z $ 是一個足夠接近的束 $ x $ 然後 $ z $ 必須嚴格優先於 $ y $ .
這是標准定義的結果。事實上，如果我們將其形式化，它會指出：
- 如果 $ x \succ y $ 而如果 $ z $ 足夠接近 $ x $ 然後 $ z \succ y $ .
- 等效地，如果 $ x \succ y $ 然後有一個 $ \varepsilon > 0 $ 這樣對於所有人 $ z \in B(x, \varepsilon) $ , $ z \succ y $ .
- 等效地，每 $ x $ 在 $ {w| w \succ y} $ 是一個內點。
- 等效地， $ {w| w \succ y} $ 是開集。
- 等效地，當偏好完整時， $ {w| y \succeq w} $ 是閉集。
後者來自連續性，因為以下是正確的：
命題如果偏好是連續的（如在定義 1 中），那麼對於所有 $ y $ 集 $ {w| y \succeq w} $ 關閉。
*證明：*假設偏好是連續的。讓我們考慮一個收斂序列 $ (w_n) $ 在 $ {w| y \succeq w} $ 那麼對於所有人 $ n $ , $ y \succeq w_n $ . 所以如果我們定義序列 $ (y_n) $ 和 $ y_n = y $ 對全部 $ n $ 我們有 $ y_n \succeq w_n $ 對全部 $ n $ . 作為 $ w_n \to w $ 和 $ y_n \to y $ 我們有 $ y \succeq w $ . 像這樣， $ {w| y \succeq w} $ 包含它的所有極限點，即它是一個閉集。