leontief 生產函式的等量線
考慮一家可以使用兩種技術和兩種生產要素生產q單位商品G的公司， $ z_1 $ 和 $ z_2 $ . 公司生產好 G 的方法有兩種： 它可以使用 2 個單位的 $ z_1 $ 和 1 個單位 $ z_2 $ 生產一單位的好 G，或者它可以使用 1 單位的 $ z_1 $ 和 2 個單位 $ z_2 $ 也生產一單位相同的商品。使用這些投入比例，公司能夠複製任何數量的有問題的商品。該公司的生產集（除其他屬性外）顯示免費處置屬性並且是凸的。
我的問題是生產函式是否這樣表達$$ f(z)=\min{ z_1 + 2z_2 ; 2z_1 + z_2} $$ 我們將如何表達等量函式？會是這樣嗎？
我認為先分析生產函式，然後使用等量線的定義更簡單。
生產函式
讓我們以更方便的方式重寫生產函式 $$ \begin{align*} f\left( z_1, z_2 \right) &= \min\left\lbrace z_1 + 2z_2, 2z_1 + z_2 \right\rbrace \ &= \begin{cases} z_1 + 2z_2 && \text{if } z_1 + 2z_2 \leq 2z_1 + z_2 \ 2z_1 + z_2 && \text{if } z_1 + 2z_2 > 2z_1 + z_2 \ \end{cases} \ &= \begin{cases} z_1 + 2z_2 && \text{if } z_2 \leq z_1 \ 2z_1 + z_2 && \text{if } z_2 > z_1 \ \end{cases} \end{align*} $$ 所以典型的等量線在 $ z_1 = z_2 $ ，即沿 45° 線。
等量
讓 $ q $ 是一個固定的數量。水平 q 等量線由下式給出 $ z_1 $ 和 $ z_2 $ 滿足 $ f(z_1, z_2) = q $ . 所以， $$ \begin{cases} z_1 + 2z_2 = q && \text{if } z_2 \leq z_1 \ 2z_1 + z_2 = q && \text{if } z_2 > z_1 \ \end{cases} $$ 然後， $$ \begin{cases} z_2 = \frac{q - z_1}{2} && \text{if } z_2 \leq z_1 \ z_2 = q - 2z_1 && \text{if } z_2 > z_1 \ \end{cases} $$ 我們最終得到一個等式 $$ z_2 = \begin{cases} \frac{q - z_1}{2} && \text{if } z_2 \leq z_1 \ q - 2z_1 && \text{if } z_2 > z_1 \ \end{cases} $$
換句話說，水平 q 等量線由以下組成：
- 線 $ z_2 = \frac{q - z_1}{2} $ 在空間 $ z_2 \leq z_1 $ （45°線以下）
- 線 $ z_2 = q - 2z_1 $ 在空間 $ z_2 > z_1 $ （45°線以上）
這是我們可以繪製的。例如，對於 $ q = 9 $ 我們得到
