庫恩塔克優化問題
假設我選擇的玩家 $ x_i \ge 0 $ 在不變的成本水平 $ c>0 $
玩家 i 的收益函式為
$$ v(x_i,t)-cx_i $$ 在哪裡 $ t $ 是技術參數。
函式 v(.) 在 $ x_i $ .
$ v(0,t)=0 $
$ \partial v(0,t)/\partial _i>c $
$ \partial v(x_i,t)/\partial _i<c $
我想最大化這個回報 $ x_i $ . 但問題嚴格強調使用庫恩塔克方法並陳述和討論鬆弛條件。
我需要找到這個問題的解決方案，比如說 $ x^* $
我的解決方案：
$$ L= v(x_i,t)-cx_i +\mu [x_i-0] $$ 一階條件
$$ (\partial v(x_i,t)/\partial _i)-c+\mu=0 $$ 庫恩塔克條件
$$ \mu [x_i-0]=0 $$為了 $ \mu \ge 0 $ 案例一： $ \mu \ge 0 $
然後， $ x_i=0 $
案例2： $ \mu = 0 $
然後， $ x_i=0 $
$$ (\partial v(x_i,t)/\partial _i)-c=0 $$ 然而，這個問題表明
$$ (\partial v(x_i,t)/\partial _i)-c<0 $$ 這是我認為的矛盾。因此，我不認為我的解決方案是正確的。我不能寫 $ L $ 具有兩個約束的函式，但我知道 Kuhn Tucker 方法至少需要兩個約束。
請與我分享你的想法。非常感謝。
這是所述優化問題的拉格朗日函式：
$$ \mathcal{L}(x_i, t) = v(x_i, t) - cx_i + \mu x_i $$ 最優的必要條件：
$$ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_i} =\frac{\partial v}{\partial x_i} - c + \mu = 0 $$ 和 $$ x_i\geq 0, \ \mu \geq 0, \ \mu x_i = 0 $$ 要解決它，請考慮以下情況：
- $ x_i > 0 $
$ x_i > 0 \rightarrow \mu = 0 \rightarrow \dfrac{\partial v}{\partial x_i} - c = 0 $
如果存在 $ x_i^* > 0 $ 這樣 $ \dfrac{\partial v}{\partial x_i}\Big\vert_{x_i=x_i^} - c = 0 $ ， 然後 $ x_i = x_i^ $ 解決問題。
- $ x_i = 0 $
$ x_i = 0 \rightarrow \mu = c - \dfrac{\partial v}{\partial x_i} $
如果 $ c - \dfrac{\partial v}{\partial x_i}\Big\vert_{x_i=0} \geq 0 $ ， 然後 $ x_i = 0 $ 解決問題。