拉格朗日乘數和最優捆綁
我想知道我錯在哪裡（如果我錯了）以及為什麼我在這裡錯了：
如果消費者有 600 歐元的收入用於購買商品 x（Px = 10 歐元）和商品 y（Py = 5 歐元）。考慮到 U(x,y) = y + 100 ln(x)，最優捆綁包是什麼？
這是我的做法（但我不自信）：
數據：
$$ U(x,y)=y+100ln(x) $$ $$ M=600 , p_{x}=10 , p_{y}=5 $$
應用拉格朗日方程：
$$
\mathcal{L}= U(x,y) - \lambda (p_{x}x+p_{y}y-M) $$ $$
\mathcal{L}= y+100ln(x) - \lambda (10x+5y-600) $$條件一：
$$ \partial U/\partial x-10\lambda = 0 $$ $$ 100/x -10\lambda = 0 $$
條件二：
$$ \partial U/\partial y -5\lambda = 0 $$ $$ 1 -5\lambda = 0 $$ $$ (\lambda = 1/5) $$
使用方程組，我得到：
$$ 100/x - 10\lambda = 2-10\lambda $$ $$ x = 50 $$
現在，將其插入條件 3：
$$ M-p_{x}x-p_{y}y=0 $$ $$ 600-500-5y=0 $$ $$ y=20 $$
因此 xMax = 50和 yMax = 20
最佳捆綁包是**(50,20)**
評論：
我不太確定這個…
我持懷疑態度，因為條件 2 似乎沒有顯示 y 變數，這似乎表明 y 在那一點上應該等於 0（所以我們應該期待一個角落解決方案）。
但是，當我在將兩個第一個條件等同並將其插入第三個條件後找到 x 時，它畢竟給了我 y=20。所以我有點困惑。
如果 cond1 和 cond2 中的 lambda 確實等於 1/5，我的答案（y=20）應該沒問題，但如果不是這樣，很可能是 y=0。我不知道如何檢查我的答案以確保我是對的……或錯的。
而且，如果碰巧我做對了，我們可以排除角落/邊界解決方案嗎？
感謝您的幫助。
您的步驟看起來不錯，並且解決方案是正確的。您可以通過評估“角落”處的效用函式來排除角落解決方案，並將這些值與您找到的最佳值進行比較。您應該能夠驗證 $ U(50,20)>\max{U(0,120),,U(60,0)} $ .