Leontief 效用與生產資料
這個問題可能需要一些解釋。另外，我已經超出了我的深度，所以如果這個問題被誤導了，請告訴我。
標準的 Leontief 實用程序似乎假設商品被消耗以產生輸出（想想輪胎和車輪來製造汽車）。相比之下，生產資料不被消耗來創造產出，而創造產出的時間變得有趣。考慮到生產商品的時間似乎是 Leontief 效用的一個有趣的延伸。具體來說，如果代理人擁有一捆商品的時間少於生產產出所需的時間，則該捆綁應提供低效用，如果代理人擁有一捆商品的時間超過生產該商品的時間，則該商品應提供低效用保持平坦（直到它可以產生另一個輸出）。
您是否知道任何將 Leontief 效用與生產商品相關的工作或將生產產出的時間視為效用的一部分的工作？
在微觀經濟學中，對消費和休閒之間的效用決策進行建模是很常見的。後者指的是一天中個人不自己生產商品（如果是自耕農生產者）或在市場上出售他的勞動力（僱傭勞動者）的時間。個人的生產力將影響其每單位時間可以生產（和賺取）多少。因此，時間通過生產力直接納入模型，進而影響個人選擇的消費和休閒之間的平衡。
例如，考慮一個具有以下效用函式的 yeoman 生產者（是的，沒有 Leontief，但說明了這一點）：
$$ U(C,1-L) = C + a(1-L) $$ 在哪裡 $ L $ 指個人每天工作的比例（ $ L \in [0,1] $ ).
他可以使用以下技術進行生產：
$$ Y = bL^h $$ 並消耗他所生產的一切：
$$ C = Y $$ 假設自耕農有興趣最大化他的效用，一維優化問題是：
$$ \text{max}_{_L} U(L) = bL^h + a(1-L) $$ 一階條件為：
$$ \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d} L} = bhL^{h-1} - a = 0 $$ 因此，分配給工作的最佳時間比例是：
$$ L^* = b^{\dfrac{1}{1-h}}\left(\frac{h}{a}\right)^{\dfrac{1}{1-h}} $$ 最佳消費是：
$$ C^* = b^{\dfrac{1}{1-h}}\left(\frac{h}{a}\right)^{\dfrac{h}{1-h}} $$ （勞動）生產率對工作時間的影響取決於技術規模的回報（ $ h $ ）。你有那個：
- 如果 $ h \in (0,1) $ , 在其他條件不變的情況下增加 $ b $ 意味著個人工作和消費更多。
- 如果 $ h > 1 $ , 在其他條件不變的情況下增加 $ b $ 意味著個人工作和消費更少。
- 如果 $ h = 1 $ ，生產力可能根本不會影響勞動力（但會影響消費）。在這種情況下，勞動力有一個角落解決方案（ $ L^=1 $ 或者 $ L^=0 $ ）。我把它留作練習。
因此，您關心“產生輸出的時間”。嗯，想想 $ b $ 表示您可以花費多少時間以固定數量的勞動力生產給定數量的產出。正如我上面指出的，變化 $ b $ 有重要的後果 $ L^* $ , $ C^* $ ，並最終獲得最大效用 $ U(C^,L^) $ .
注：我選擇的規格是指生產力提高所產生的收入和替代效應（ $ b $ ) 不要互相取消。其他實用功能（例如 $ \ln C $ ) 將意味著 $ b $ 不影響 $ L $ . 我也把這個練習留給你。