線性同位效用
同位效用是在哪裡 $$ \forall x,y, \forall a \in \mathbb{R}_+: \ u(ax,ay)=au(x,y) $$（或其單調變換）。
線性同位效用定義為$$ \forall x,y, \forall a \in \mathbb{R}_+: \ u(ax+b,ay+c)=au(x+b,y+c) $$ 在哪裡 $ b,c $ 是常數。
這種偏好與類比偏好具有非常相似的性質。事實上，如果我們簡單地將座標系沿 (b,c) 的方向平移，那麼偏好就變成了相似的。
有沒有涉及該物業的作品？我檢查了很多同類偏好的理論論文，但沒有找到運氣。
James DOW 和 Sergio Ribeiro da Costa WERLANG 的同種偏好
JC Candeal, E. Indurain 的同位和弱同位偏好
線性相似偏好，B Datta, H Dixon
唯一想到的效用函式是 Stone-Geary 效用函式。2件商品， $ x $ 和 $ y $ ，這採用以下形式： $$ u(x,y) = (x - a)^\alpha (y- b)^{1- \alpha}. $$ 這是一個 Cobb-Douglas 類型的效用函式，其中 $ a $ 和 $ b $ 是生存水平，即您至少需要消費 $ a $ 從 $ x $ 和 $ b $ 從 $ y $ 生存。導致線性支出系統的效用函式。
要看到它是線性類比的，請注意： $$ \begin{align*} u(\beta \tilde x + a, \beta \tilde y + b) &= (\beta \tilde x + a - a)^\alpha (\beta \tilde y + b - b)^{1-\alpha},\ &=\beta (\tilde x)^\alpha (\tilde y)^{1-\alpha},\ &=\beta ((\tilde x + a) - a)^\alpha ((\tilde y + b) - b)^{1-\alpha},\ &= \beta u(\tilde x + a, \tilde y + b). \end{align*} $$ 可能有更多關於具有生存水平的效用函式的工作導致其他也是線性相似的偏好。
例如，您可以定義一個具有生存水平的 CES 效用函式： $$ u(x,y) = (\alpha_x(x -a)^\sigma + \alpha_y(y-b)^\sigma)^{1/\sigma} $$ 這也將滿足線性同質性。Baumgärtner, Drupp & Quaas 的這篇論文就是這樣做的。
一般來說，如果你採用任何同位效用函式 $ u(x,y) $ 然後是修改後的“生存增強”功能： $$ \tilde u(x, y) \equiv u(x - a, y - b), $$ 將是線性相似的。