局部非飽和證明
大約三天以來，我一直在為如何繼續進行證明而煩惱。我知道證明的基本結構，但似乎無法構造它。
基本上，我試圖通過矛盾來證明以下內容：
說 $ u: x \rightarrow \mathbb{R} $ 沒有局部最大值。讓 $ p \in \mathbb{R^l}_{++} $ 和 $ w>0 $ . 證明如果 $ x^* $ 是最大化問題的解決方案：
$$ \max_x \ (u(x)) \ \text{s.t.} \ x \in B(p) = [x \in \mathbb{R^l}{++} : p \cdot x \leq w] $$ 那麼對於所有人 $ y \in \mathbb{R^l{++}} $ 這樣 $ u(y) \geq u(x^) $ ，那麼一定是 $ p \cdot y \geq w $ 所以我應該通過矛盾來證明這個，（假設我們有 $ y \in \mathbb{R^l_{++}} $ 這樣 $ u(y) \geq u(x^) $ ，那麼一定是 $ p \cdot y < w $ ) 並使用以下事實 $ u $ 沒有局部最大值意味著該函式 $ u $ 局部不滿足：
$$ \forall y \in \mathbb{R^l_{+}, \forall \epsilon > 0, \exists {y’} \in \mathbb{R^l_{+}}} \ \text{s.t.} \ |y - y’| < \epsilon \ \text{and} \ y’ \succ y $$ 但我現在被困了一段時間。任何幫助，將不勝感激。
假設存在矛盾 $ y $ 這樣 $ p\cdot y<w $ 和 $ u(y)\geq u(x^\ast) $ . 讓
$$ \epsilon^\ast= \frac{w-p\cdot y}{ \sum_i p_i}. $$那麼，對於所有人 $ y’ $ ， 如果 $ \ |y - y’| < \epsilon^\ast $ ， 我們會有 $ \left|y_i-y_i’\right|<\epsilon^\ast $ . 請注意，任何捆綁包的成本 $ y’ $ 會滿足 $$ \begin{eqnarray} p\cdot y’ &=& p_1 y’_1 + p_2 y’_2 + \dots +p_n y’_n\ &<&p_1 (y_1+\epsilon^\ast) + p_2 (y_2+\epsilon^\ast) + \dots +p_n (y_n+\epsilon^\ast)\ &=& p\cdot y+\epsilon^\ast\sum_i p_i \ &=&p\cdot y + \frac{w-p\cdot y}{ \sum_i p_i} \sum_i p_i\ &=& w \end{eqnarray} $$ 這表明對於 $ \epsilon^\ast $ ， 每一個 $ y’ $ 令人滿意的 $ \ |y - y’| < \epsilon^\ast $ 是負擔得起的。 然而，由於 $ u $ 局部不滿足，存在 $ y^\ast $ 和 $ \ |y - y^\ast| < \epsilon^\ast $ 這樣 $ y^\ast\succ y $ . 自從 $ y^\ast $ 是負擔得起的，即 $ y^\ast\in B(p) $ 這導致與假設的矛盾 $ x^\ast $ 解決了效用最大化問題，因為傳遞性意味著 $ y^\ast\succ x^\ast. $