多數規則和單峰
如果個人偏好是單峰的，多數規則將導致非空選擇集
這個說法是真的嗎？在此聲明的上下文中，我在理解“單峰”的含義時遇到了一些麻煩。這裡的選擇是否意味著我們需要在給定的選擇中找到最喜歡的選擇？我知道多數投票充滿了不傳遞性。“非空”選擇集意味著什麼？
我的理解是，對於單峰替代方案，個人有他選擇的特定替代方案，遠離峰值的替代方案會更受歡迎。我的概念似乎很不穩定。請多多包涵。
假設A ={ a,b,c,….,z } 是一個有限的社會選擇集，令P ={> 1 ,> 2 ,….,> N } 是嚴格的輪廓偏好訂單 $ A $ （其中集合 {1,2,…, N } 索引選民）。如果有某種方式可以對A中的備選方案進行排序（例如按字母順序），那麼我們就說輪廓P是單峰的，這樣，對於P中的每個 > n的偏好順序，都有一些“理想點”（比如, h ) 使得
a< n b < n c < n … < n g < n h > n i > n j > n … > n y > n z。
請注意，該條件不會在g和i之間或實際上在 { a,b,…,g } 的任何元素和 { i,j,..,z } 的任何元素之間施加任何特定的偏好。另請注意，不同的選民可能有不同的理想點。（所以選民n在上面的例子中有理想點h，但也許選民m有理想點d ….）還要注意，這裡的問題不是單一偏好排序 > n是否是“單峰” —問題是整個輪廓 P是單峰的，這意味著我們可以找到A的單個排序，使得P中的所有偏好對於這個排序都是單峰的。（在上面的例子中，我使用了字母順序，但這只是為了簡單起見。問題只是是否存在某種順序。）
為什麼這個條件有用？假設您嘗試通過簡單多數投票（Condorcet 建議）確定每對備選方案之間的比較，從而建構 > 0的社會偏好順序。例如，對於備選方案b和g，我們將規定b > 0 g當且僅當 b > n g對於大多數選民 {1,2,…, N }。（為簡單起見，假設N是奇數，因此多數票決不會導致平局。）我們知道，一般來說，這種方法不會導致傳遞偏好關係。（這是孔多塞悖論.) 然而，如果概要P是單峰的，那麼這種“成對多數投票”方法總是會產生一個傳遞的社會偏好順序。（這是由鄧肯布萊克發現的。）此外，由此產生的社會偏好順序的“最大”元素是選民理想點的中位數。（這就是著名的中值選民定理。）
總之，如果輪廓P是單峰的，那麼多數規則不僅會導致非空選擇集（如您所說），而且該選擇集通過完整且傳遞的社會偏好順序合理化（通過成對多數獲得票），此外我們可以準確地說出選擇集是什麼（它是選民理想點的中位數）。