馬歇爾對 Cobb-Douglas 的需求
當嘗試最大化具有 cobb-douglas 效用函式的效用時 $ u=x_1^ax_2^b $ ， 和 $ a+b = 1 $ ，我找到了以下公式（維基百科：馬歇爾需求）：
$ x_1 = \frac{am}{p_1}\ x_2 = \frac{bm}{p_2} $
在我的一本書中，我還發現了這些用於相同目的的公式：
$ x_1 = \frac{a}{a+b}\frac{m}{p_1} \ x_2= \frac{b}{a+b}\frac{m}{p_2} $
和 $ p_i $ : 商品價格； $ m $ ： 預算
我測試了所有這些，它們產生了相同的結果。
那麼有什麼區別嗎？
自從 $ a + b=1 $ 方程完全相同。代入 $ a+b $ 和 $ 1 $ 在第三個和第四個等式中給出了第一個和第二個等式。
這就是你如何從你的第一個方程到你的第二個方程。你的效用函式是 $ u(x_1, x_2)=x_1^a x_2^b $ 自從 $ a+b=1 $ 我將其稍微更改為 a 和 (1-a) 為了優化這兩個選擇，您需要最大化效用，wrt 您的選擇變數。
受制於 $ p_1x_1 + p_2x_2 = w $ 使用瓦爾拉斯定律。基本上，為了優化效用，所有的錢都會花光。
Cobb-Douglas 函式通常難以解決優化問題。可以使用保留函式序數特性的單調變換。
$ aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2) $
這將被使用。將應用相同的預算約束。
拉格朗日條件和一階條件如下
$ L = aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2) − \lambda(w − p_1x_1 − p_2x_2) $
$ \frac{δL} {δx_1}= \frac{a} {x_1} − \lambda p_1 = 0 $
$ \frac {δL} {δx_2}=\frac{1 − a} {x_2} − \lambda p_2 = 0 $
操縱一階條件導致
$ \lambda = \frac{a} {x_1p_1} $
$ \lambda =\frac{(1 − a)}{ x_2p_2} $
$ \frac{a} {x_1p_1}=\frac{(1 − a)}{ x_2p_2} $
代入預算約束 $ p_2x_2 = w − p_1x_1 $
$ \frac{a}{ x_1p_1}=\frac{(1 − a)} {w − p_1x_1} $
$ x_1 =\frac{wa}{ p_1} $
和
$ p_1x_1 = w − p_2x_2 $
$ \frac{a} {w − p_2x_2}=\frac{(1 − a)}{ p_2x_2} $
$ w =\frac{a}{(1 − α)}p_2x_2 + p_2x_2 $
$ w(1 − a) = p_2x_2 $
$ x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2} $
利用這些結果，我們可以計算出最優消費束 $ x_1 $ 和 $ x_2 $ 對於給定的價格，財富組合。
$ x_1 =\frac{wa}{ p_1} $
$ x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2} $