數學上表明 MC 交叉 AC 只能出現在 MC 曲線向上傾斜的部分
問題如標題，有人知道如何顯示嗎？用中值定理？
我可以證明 AC 在 MC=AC 時最小化，但我不確定如何顯示 MC 只能在 MC 的向上傾斜點穿過 AC
我的第一部分只是在簡化導致 c’(q) = c(q)/q 之後最終採用 AC = c(q)/q 和 AC'
$$ given AC=0 at min point $$ 因此 c’(q) = MC 並且因此在最小點 AC = MC 我正在考慮如何使用平均值定理表明 AC 和 MC 只能在向上傾斜的 MC 曲線（其中 MC’ >0）處相交；我以圖形方式知道如何以及為什麼但不知道如何開始顯示？
鑑於假設 $ C(q) $ 是持續可微的，我們對所有人都有 $ q $ : $$ qAC(q) = C( q ) = FC + \int_0^{q} MC(x) \text{d}x. $$ 取任何一對的差價 $ q,\hat{q} $ : $$ qAC(q) - \hat{q}AC(\hat{q}) = \int_{\hat{q}}^{q} MC(x) \text{d}x. \tag{1} $$ 左邊可以改寫： $$ q\left(AC(q) - AC(\hat{q}) \right) + \left(q - \hat{q}\right)AC(\hat{q}) = \int_{\hat{q}}^{q} MC(x) \text{d}x $$ 我們將使用的形式是 $$ q\left(AC(q) - AC(\hat{q}) \right) = -\left(q - \hat{q}\right)AC(\hat{q}) + \int_{\hat{q}}^{q} MC(x) \text{d}x \tag{2} $$ 認為 $ C(q) $ 是嚴格凸的並且 $ MC’(q) $ 在某處切換標誌；進一步假設 $ q_c $ 存在於哪裡 $ AC(q_c) = MC(q_c) $ ， 和 $ AC(q) $ 此時最小化。
我們將首先證明 $ q_c $ 不在範圍內 $ MC(q) $ 正在減少。
反證法：
假設 $ MC(q) $ 嚴格下降 $ q_c $ ，因此存在一個小環境 $ (q_c, q_c + \epsilon) $ 這樣對於 $ q \in (q_c, q_c + \epsilon) $ 我們有 $$ \int_{q_c}^{q} MC(x) \text{d}x < \left(q - q_c\right)MC(q_c). $$ 將其與（2）結合，我們得到 $$ q\left(AC(q) - AC(q_c) \right) < -\left(q - q_c\right)AC(q_c) + \left(q - q_c\right)MC(q_c) = 0. $$ 由此可知 $$ AC(q) < AC(q_c), $$ 與以下假設相矛盾 $ q_c $ 最小化 $ AC(q) $ .
我們現在將證明沒有 $ q_b > q_c $ 為此 $ AC(q_b) = MC(q_b) $ .
證明：
在 $ q_b $ $ MC(q) $ 嚴格增加，因此 $$ \int_{q_c}^{q_b} MC(x) \text{d}x < \left(q_b - q_c\right)MC(q_b). $$ 作為 $ AC(q) $ 最小化在 $ q_c $ ， 我們還有 $ -AC(q_c) > -AC(q_b) $ ， 因此 $$ q_bAC(q_b) - q_cAC(q_c) > q_bAC(q_b) - q_cAC(q_b) = \left(q_b - q_c\right)AC(q_b) $$ 將這些不等式與 $$ qAC(q) - \hat{q}AC(\hat{q}) = \int_{\hat{q}}^{q} MC(x) \text{d}x. \tag{1} $$ 我們得到 $$ \left(q_b - q_c\right)AC(q_b) < q_bAC(q_b) - q_cAC(q_c) = \int_{q_c}^{q_b} MC(x) \text{d}x < \left(q_b - q_c\right)MC(q_b), $$ 因此 $ AC(q_b) < MC(q_b) $ .