多產品公司的最大化問題
我目前正在獨自閱讀考威爾的《微觀經濟學：原理與分析》一書。我對多產品公司的部分感興趣，但我對利潤函式的使用感到困惑。具體來說，關於如何為最大化問題設定目標。這裡有兩個商品的例子 $ x $ 和 $ y $ , 兩個因素 $ k $ 和 $ l $ 和兩個 Cobb-Douglas 生產函式。
$$ \begin{equation} \begin{array}{l} \text{Max}\quad \pi=p_{x}q_{x}+p_{y}q_{y}-w(l_{x}+l_{y})-v(k_{x}+k_{y}) \ \text{subject to:} \ q_{x}\leq k_{x}^{\alpha}l_{x}^{\beta} \ q_{y}\leq k_{y}^{\gamma}l_{y}^{\delta} \ L=l_{x}+l_{y} \ K=k_{x}+l_{y} \end{array} \end{equation} $$ 我提出這個問題好嗎？一階條件如何？
“一階條件如何”這個問題對我來說似乎很不清楚，我提供了一個用於查找和寫出它們的設置，同時解釋了易於處理的 Kuhn-Tucker 條件。
儘管我們盡量避免放棄基本的學習問題答案，但這是一個沒有答案的積極投票問題，我仍然認為這些問題對未來的使用者有價值。足夠的時間也過去了，沒有幫助某人完成課程的風險，如果這是故意的話。
通常在生產函式是約束的成本最小化問題中，有一個要生產的固定數量，然後導致成本最小化。在這個利潤最大化問題中，你有兩種商品所需的最小生產量，我覺得這很有趣。
我們可以注意到目標函式（利潤）是線性的，因此是凹的和可微的。約束更有趣，因為 Cobb-Douglas 形式不一定是凹的，即當指數總和大於 1 時。所以你可以問自己什麼時候約束是凸的（它們肯定是可微的）。這些想法與優化的充分條件有關。Weierstrass 定理存在一個解（約束是緊的，目標函式是連續的）。
要查看一階必要條件，我們可以省略最後兩個等式，因為它們沒有添加任何內容。我們採取：
$$ \begin{equation} \begin{array}{l} \max_{q_{x}, q_{y}, l_{x}, l_{y}, k_{x}, l_{x}} \quad p_{x}q_{x}+p_{y}q_{y}-w(l_{x}+l_{y})-v(k_{x}+k_{y}) \ \text{s.t.} \ q_{x} - k_{x}^{\alpha}l_{x}^{\beta} \leq 0 \ q_{y} - k_{y}^{\gamma}l_{y}^{\delta} \leq 0 \ \end{array} \end{equation} $$ 形成拉格朗日：
$$ \max \quad \mathscr{L} = p_{x}q_{x}+p_{y}q_{y}-w(l_{x}+l_{y})-v(k_{x}+k_{y}) - \mu_x (q_{x} - k_{x}^{\alpha}l_{x}^{\beta}) - \mu_y (q_{y} - k_{y}^{\gamma}l_{y}^{\delta}) $$ （注意拉格朗日乘數前面的符號）
然後，代替關於乘數的導數，我們有具有互補鬆弛條件的約束。我們也採用其他約束。
$$ \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \ ( \cdot )} \leq 0 \quad ; \quad ( \cdot ) \geq 0 \quad \forall ( \cdot ) $$ $$ \text{constraint} \quad ; \quad \mu_{(\cdot)} \geq 0 $$ 從那裡您可以繼續解決系統問題，但您可能會發現自己處於一個奇怪的位置，因為我們無法建立唯一性。