可支配收入最大化
考慮一個您所珍視的福利制度，向每個公民提供一次現金轉移（保證收入）。然後，對於該人賺取的每一美元，您獲得轉賬的金額會減少到 00。如果 t<0，你就納稅。如果 t=0，您無需繳稅或接受轉賬。
假設 te 工資率為 $ w>0 $ . 所以一個工作 H 小時的人得到 $ y_e=wH $ . 一個典型的個人效用函式是
$$ u(y_d, H)=y_d/(1+H)^2 $$ 這個問題有多個部分。我試著做大部分。但我不確定請檢查我的解決方案，我也不能做某些部分。
首先我寫一個個人可支配收入的表達式 $ y_d $ 作為一個函式 $ y_g $ 和 $ y_e $ 和其他參數。
$$ y_d=(1-a)y_e+y_g $$ 其次，我嘗試為該效用函式和他的可支配收入線繪製無差異曲線，如下所示
我只放這張圖片來顯示圖表。
第三，我試圖驅動效用最大化勞動力供給函式 $ H^* $ 通過假設 $ (1-a)w-2y_g>0 $
$$ u(y_d, H)=y_d/(1+H)^2 $$ $$ u(y_d, H)=((1-a)y_e+y_g)/(1+H)^2 $$ 關於導數 $ H $
$$ {(1-a)w(1+H)^2-((1-a)wH+y_g)2(1+H)\over (1+H)^4}=0 $$ $$ \iff $$ $$ (1+H)[(1-a)w(1+H)-2(1-a)wH-2y_g]=0 $$ 由於 H>0， $ (1+H)≠0 $
所以，
$$ [(1-a)w(1+H)-2(1-a)wH-2y_g]=0 $$ $$ H*={[(1-a)w-2y_g\over (1-a)w}>0 $$ 此外，
$$ \partial H^*/\partial y_g=-w/((1-a)w)<0 $$ 憑直覺，作為保證收入 $ yg $ 增加勞動力供給就會減少。
$$ \partial H^*/\partial a=-2y_g/. ((-a)^2w)<0 $$ 因此，對於每一美元，如果勞動力供應減少，個人在單筆現金轉移中賺取的 a 減少量就會增加。
這些直覺夠了嗎？你對這些結果有什麼看法？
然後，
第四，當勞動力供給最大化時，效用是什麼？ $ (1-a)w-2y_g\le 0 $
在這種情況下，我說
$$ H*={[(1-a)w-2y_g\over (1-a)w}\le 0 $$ 因此，勞動力供應將最佳地為零。
我被困在這一點上。我說的是真的嗎？
進而，
假設政府想要選擇它的政策 $ (y_g, a) $ 以這樣一種方式，公民效用在淨轉移為零的約束下最大化 我怎樣才能得出最優政策？我試圖推導出它。但我想我的解決方案是不正確的。你是怎麼推導出來的？這是正確的嗎？這一點非常重要。
$$ u(y_d, H)=Y_d/(1+H)^2=((1-a)wH+y_G)/(1+H)^2 $$ 受制於 $ T=Y_G-aY_E=0 $
所以 $ y_g=aY_E=awH $
所以
$$ u(y_d, H)=Y_d/(1+H)^2=((1-a)wH+awH)/(1+H)^2=wH/(1+H)^2 $$ 衍生 wrt H;
$$ (w(1+H)^2-wH2(1+H))/(1+H)^4=0 $$ $$ (w(1+H)^2-wH2(1+H))=0 $$ IFF
$$ w+wH-2wH=0 $$ 所以 $ H^*=1/2 $
所以， $ y_g^=aw/2 $ 和 $ a^=2y_g^*/w $
我真的被困在這部分。
我的最後一個問題是基於上述假設。但是不同的公民賺取不同的工資。您如何看待這項政策的優點？
先感謝您。
- 可支配收入 $ Y_D $ 作為一個函式 $ Y_G $ 和 $ Y_E $ 是： $$ Y_D = Y_G + (1-\alpha) Y_E $$
- 給定工資率 $ w $ ， 和 $ Y_E = wH $ ，預算方程可以寫成： $$ Y_D = Y_G + (1-\alpha)wH $$ 個人偏好高於 $ Y_D $ 和 $ H $ 由效用函式表示 $$ U(Y_D, H) = \dfrac{Y_D}{(1+H)^2} $$ 所以效用最大化問題是： $$ \begin{eqnarray*}\max_{Y_D, H} && \ \ \dfrac{Y_D}{(1+H)^2} \ \text{s.t} && \ \ Y_D = Y_G + (1-\alpha)wH \ && \ \ H\geq 0 \end{eqnarray*} $$ 這是展示最佳解決方案的圖片：
- 解決上述問題，我們得到最優勞動力供給為
$$ \begin{eqnarray*} H^(w, \alpha, Y_G) = \begin{cases} 1-\dfrac{2Y_G}{(1-\alpha)w} & \text{if } (1-\alpha)w - 2Y_G > 0 \ 0 & \text{if } (1-\alpha)w - 2Y_G \leq 0 \end{cases} \end{eqnarray} $$
- 所以最優效用是 $ w, \alpha, Y_G $ 如下：
$$ \begin{eqnarray*} U^(w, \alpha, Y_G) = \begin{cases} \dfrac{((1-\alpha)w)^2}{4((1-\alpha)w - Y_G)} & \text{if } (1-\alpha)w - 2Y_G > 0 \ Y_G & \text{if } (1-\alpha)w - 2Y_G \leq 0 \end{cases} \end{eqnarray} $$ 現在政府。選擇 $ (Y_G, \alpha) $ 通過解決：
$$ \begin{eqnarray*}\max_{Y_G, \alpha} && \ \ U^(w, \alpha, Y_G) \ \text{s.t} && \ \ Y_G = \alpha wH^(w, \alpha, Y_G) \end{eqnarray*} $$
解決它我們得到 $ \alpha^* = 0 $ 和 $ Y_G^* = 0 $
