最大化稅收和外國勞動力
我正在處理一個棘手的任務，我不知道從哪裡開始。
人 1 居住在丹麥，具有由下式給出的效用函式，
$$ (1) \ \ u(c,l)=c-\frac{\eta}{\eta+1}(24-l)^{\frac{\eta+1}{\eta}} $$
在哪裡 $ \eta>0 $ , $ c $ 是消費和 $ l $ 是休閒。
丹麥政府對個人徵稅， $ t, 0<t<1 $ 這樣他的“稅後”工資由 $ w=\bar{w}(1-t) $ . 稅收收入由下式給出
$$ (2) \ \ T=t\cdot \bar{w}\cdot S(w) $$
在哪裡 $ S(w) $ 是勞動力的供給和 $ \bar{w} $ 是工資。
首先，我推導出產生最多稅收的稅收， $ t^*=\frac{1}{(1+\eta)} $ .
問題來了。
假設具有相同效用函式的第二個人（第 2 個人）居住在威爾士。只有當她的公用事業（稅後）高於 $ \bar{u} $ . 假設：
$$ (3) \ \ \bar{u}>\frac{1}{\eta+1}\left(\frac{\eta}{1+\eta}\frac{\bar{w}}{p}\right)^{\eta+1} $$
我必須證明使稅收收入最大化的稅收（ $ t^* $ ) 對於第 2 個人來說“太高”，無法搬到丹麥。
我知道我必須證明，當她住在威爾士時，第 2 個人的效用比住在丹麥時更高——但是如何呢？
我在這裡給出程序，但有價格 $ p=1 $ 你可以自己做，沒有那種簡化。
設置拉格朗日
$$ \mathcal L(c,l,\lambda) = u(c,l) - \lambda (c-\bar w(1-t)(24-l)) $$
清楚地
$$ \frac{\partial \mathcal L }{\partial c} = \frac{\partial u}{\partial c} - \lambda = 1- \lambda $$
所以 $ \lambda=1 $ 約束是有約束力的。所以
$$ c^\star = \bar w(1-t)(24-l^\star) $$
此外
$$ \frac{\partial L}{\partial l} = (24-l)^{1/\eta} - \lambda \bar w (1-t) = 0 $$ 自從 $ \lambda = 1 $ 它遵循
$$ l^\star = 24 - (\bar w(1-t))^\eta $$
堵塞 $ l^\star $ 和 $ c^\star $ 進入效用函式，從 $ c^\star $ 你得到
$$ \bar w(1-t)(24 - l^\star) - \frac{\eta}{\eta + 1}(24 - l^\star)^{\frac{\eta + 1}{\eta}} $$
然後 $ l^\star $ 要得到
$$ \bar w(1-t)[\bar w(1-t)]^{\eta} - \frac{\eta}{\eta + 1}(\bar w(1-t))^{\frac{\eta(\eta + 1)}{\eta}}, $$
減少這個得到
$$ (\bar w (1-t))^{\eta +1}[1/(\eta + 1)] $$
插入最優稅並得到
$$ \left(\bar w \frac{\eta}{\eta + 1}\right)^{\eta +1}[1/(\eta + 1)] $$