微觀：證明產生 y 的成本最小化輸入向量不能產生超過 y
我被困在一個非常簡單的問題上。讓 $ V(y) $ 成為所有的集合 $ x \in \mathbb{R}^n $ 至少可以產生 $ y $ . 我們被賦予了 $ V(y) $ 是凸集。
給定 $ w $ , 要素價格, 讓
$$ x^* = \arg \min wx $$ $$ \text{such that } x \in V(y) $$ 顯示 $ x^* \notin V(y’) $ 為了 $ y’>y $
我嘗試使用矛盾，但僅證明如果以上不成立[x∗Math Processing Error]可以產生無限[yMath Processing Error]. 我可以聲稱這是一個矛盾（與什麼矛盾？）並說證明是完整的嗎？ $ x^* $ $ y $
我認為你不需要凸度。但是，我認為您確實需要假設一些單調性條件。以下應該有效（但可能不是提供結果的最小假設集）。
考慮生產可能性集 $ V(.) $ .
[Math Processing Error]$$ V(y) = {x \in \mathbb{R}^n_+| x \text{ can produce } y}. $$ 我們假設 $ V(y) $ 是一個封閉的非空子集[R+nMath Processing Error]. 讓[w∈R++nMath Processing Error]並定義： $ \mathbb{R}^n_{+} $ $ w \in \mathbb{R}^n_{++} $ $$ c(y) = \arg\min_x wx \text{ s.t. } x \in V(y). $$ 作為 $ V(y) $ 是封閉的，這個問題是很好定義的。的價值 $ c(y) $ 給出最小的生產成本 $ y $ . 定義 $ X(y) = {x \in V(y)| w x = c(y)} $ 作為所有最優解的集合。 **假設 1：**如果 $ y’ >y $ ， 然後 $ V(y’) \subseteq V(y)^\circ $ 在哪裡[A∘Math Processing Error]是集合的內部[AMath Processing Error]（關係到[R+nMath Processing Error]). $ A^\circ $ $ A $ $ \mathbb{R}^n_+ $
**假設2：**如果 $ y > 0 $ 然後 $ 0 \notin V(y) $ .
假設 1 要求生產可能性集是嚴格嵌套的。假設 2 要求我們不能從無到有。
**引理 1：**如果滿足假設 1 和 2，則 $ y’ > y $ 暗示 $ c(y’) > c(y) $ .
*證明：*讓 $ y’ > y $ . 然後讓 $ x^\ast \in X(y’) $ . 那麼作為 $ x^\ast \in V(y’) $ 我們有假設 1 $ x^\ast \in V(y)^\circ $ . 然後我們知道有一個 $ \varepsilon > 0 $ 這樣[Bε(x∗)∩R+n⊆V(y)Math Processing Error]. 作為 $ B_\varepsilon(x^\ast) \cap \mathbb{R}^n_{+} \subseteq V(y) $ $ x^\ast \ne 0 $ （通過假設 2），我們可以找到[x′∈Bε(x∗)∩R+nMath Processing Error]這樣 $ x’ \in B_\varepsilon(x^\ast) \cap \mathbb{R}^n_+ $ $ x’ < x $ 和 $ x’ \in V(y) $ . 然後：
$$ c(y) \le w x’ < w x^\ast = c(y’) $$ 這證明了這一點。 **定理 2：**讓 $ y’ > y $ 和 $ x^\ast \in X(y) $ 然後 $ x^\ast \notin V(y) $ .
*證明：*對矛盾假設 $ y’ > y $ , $ x^\ast \in X(y) $ 和 $ x^\ast \in V(y) $ . 然後 $ c(y) = w x^\ast $ 和 $ c(y’) \le w x^\ast $ . 然而，這意味著：
$$ c(y’) \le w x^\ast = c(y), $$ 這與引理 1 相矛盾。