微觀經濟學：福利的第一基本定理
有人能告訴我為什麼這個證明的第 (2) 部分有任何相關性嗎？
(1) 假設 $ x $ 是帕累托支配的 $ y $ . 自從 $ x_i $ 最適合消費者 $ i $ ： 如果 $ y_i\succ x_i $ 然後 $ p\cdot y_i > p\cdot x_i $
(2) 局部不飽和甚至暗示
如果 $ y_i\succeq x_i $ 然後 $ p\cdot y_i\geq p\cdot x_i $
(3) 加起來： $ p\cdot\sum y_i > p\cdot\sum x_i= p\cdot w $ ，違反可行性。( $ w $ =初始禀賦）
帕累托優勢的最常見版本說，如果存在另一種可行的分配，其中至少一個代理人的情況更好，其他人的情況至少一樣好，則分配是帕累托支配的。特別是，後一種分配可以包括與以前一樣富裕的消費者。
它源於（1）成立的競爭均衡的定義。消費者選擇他們能買得起的最好的捆綁包意味著每個更好的捆綁包都必須是買不起的，因此也更貴。
現在，（3）中的總和不僅超過了那些嚴格意義上更好的代理人，也超過了同樣富裕的人。對於那些，使用局部非對稱只能得到弱不等式（2）。
這是一個違反局部非飽和且競爭均衡不是帕累託有效的範例，顯示了局部非飽和假設對於第一福利定理的重要性：
有兩種商品和兩種消費者。兩個消費者都有初始禀賦 $ \omega_1=\omega_2=(1,1) $ . 對於消費者 1，兩種商品都是完全替代品；消費者 1 希望他們消費的兩種商品的總和盡可能大。消費者 2，不在乎他們得到什麼，他們對所有消費束無動於衷。您可以檢查是否存在一個競爭均衡，其中兩個消費者都只收到他們的禀賦並且兩種商品具有相同的價格， $ p_1=p_2>0 $ . 但是獨特的帕累托效率分配給消費者 1 一切，他們收到捆綁 $ (2,2) $ 和消費者 2 捆綁 $ (0,0) $ . 帕累托主導的均衡分配的每一個分配都有消費者 1 的情況更好，因此會收到更昂貴的捆綁包（對於均衡價格），但消費者 2 會收到更便宜的捆綁包，但仍然和以前一樣好。
帕累托效率也有一個弱概念：如果沒有可行的分配讓每個人都過得更好，那麼分配就是弱帕累托效率的。可以證明，即使沒有局部不滿足，每個競爭均衡都是弱普雷託有效的：如果每個人都過得更好，（1）意味著每個人都收到了更昂貴的捆綁包，那麼我們可以直接轉到（3）。
局部不滿足意味著你總是想要多一點。沒有你滿足的甜蜜點，不會再接受 $ x_i $ .
這在實踐中意味著如果你正在優化你的貨物分配 $ x_i $ ，您將耗盡所有資源（ $ w $ ).
如果您沒有 (2)，則您的最佳捆綁包可能會涉及以下組合 $ x_i $ 和 $ w $ .
使用 (2)，您的最佳捆綁包將僅包含 $ x_i $ .