我n{f_(x,y),g(x,y)}米一世n{F(X,是的),G(X,是的)}min{f(x,y),g(x,y)}也是準凹的F(x,y)F(X,是的)f(x,y)和G(x,y)G(X,是的)g(x,y)準凹函式
假使，假設 $ f(x,y) $ 和 $ g(x,y) $ 是擬凹函式，則 $ min{f(x,y),g(x,y)} $ 也是準凹的。
我做了什麼
假使，假設 $ {(u,v), (z,t)} $ 是 f 和 g 的域 $ 0<\theta<1 $
$ f $ 那麼是準凹的 $ f(\theta (u,v)+(1-\theta)(z,t))=f(\theta u+(1-\theta)z, \theta v+(1-\theta)t)>\min( f(u,v), f(z,t) )=f(z,t) $
$ g $ 那麼是準凹的 $ g(\theta (u,v)+(1-\theta)(z,t))=g(\theta u+(1-\theta)z, \theta v+(1-\theta)t)>\min( g(u,v), g(z,t) )=g(z,t) $
我假設 $ m(x,y)=min(f(x,y), g(x,y)) $
我想證明 $ m(\theta (u,v)+(1-\theta)(z,t))=m(\theta u+(1-\theta)z, \theta v+(1-\theta)t)>\min( m(u,v), m(z,t) ) $
$$ m(\theta (u,v)+(1-\theta)(z,t))=m(\theta u+(1-\theta)z, \theta v+(1-\theta)t)=min(f(\theta u+(1-\theta)z, \theta v+(1-\theta)t), g(\theta u+(1-\theta)z, \theta v+(1-\theta)t))= $$
那麼，我該如何進行這個證明呢？
任何幫助將不勝感激。謝謝你。
*重複的問題
為了表明 $ \min(f(x,y), g(x,y)) $ ，考慮上層集$$ P^a = \left{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | \min(f(x,y), g(x,y)) \geq a\right} $$
我們將證明這是一個凸集 $ a\in\mathbb{R} $ .
$$ \begin{eqnarray*} P^a & = & \left{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | \min(f(x,y), g(x,y)) \geq a\right} \ & = & \left{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | f(x,y) \geq a\right} \cap \left{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | g(x,y) \geq a\right}\end{eqnarray*} $$ 這是兩個凸集的交集，因為 $ f $ 和 $ g $ 都是準凹的，因此它也是凸的。所以， $ \min(f(x,y), g(x,y)) $ 是準凹的。