混合納什均衡
我在下面發布了遊戲表：
$$ \begin{matrix} \ #1 & \begin{array}{c|c|c|c} &D &E &F \ \hline A &4,4 &6,6 &2,6 \ \hline B &6,4 &2,2 &0,4 \ \hline C &2,6 &8,4 &0,0 \end{array} \end{matrix} $$ 是否存在代理 1 混合的納什均衡
(i) 甲及乙
(ii) A 和 C
(iii) B & C？
我所做的是
例如我做了第一個
我計算了它的預期效用
$$ u1(A, p2)= 4p_D+ 6 p_E+ 2+(1-p_D-p_E) $$ $$ u1(B,p)=6p_D+2p_E $$ 由於第一次收益高於第二次收益，因此不存在這樣的混合納什均衡。
我認為這種處理此類問題的方法似乎是錯誤的。因此我問這個問題。您對解決方案有何想法？
（一世） $ A $ & $ B $
如果玩家 1 玩 $ A $ 有機率 $ p $ 和 $ B $ 有機率 $ (1-p) $ ， 在哪裡 $ 0<p<1 $ ，然後玩家 2 的預期收益
- $ D $ 是 $ 4p+4(1-p) = 4 $
- $ E $ 是 $ 6p + 2(1-p) = 4p + 2 $
- $ F $ 是 $ 6p + 4(1-p) = 2p + 4 $
自從遊戲的回報 $ F $ 超過為玩家 2 採取任何其他策略的回報，他將始終選擇 $ F $ 響應玩家 1 的任何混合策略，其中 1 玩 $ A $ 有機率 $ p $ 和 $ B $ 有機率 $ (1-p) $ . 所以， $ F $ 如果 1 玩混合策略，是玩家 2 的最佳反應 $ A $ 有機率 $ p $ 和 $ B $ 有機率 $ (1-p) $ . 然而，鑑於策略 $ F $ 玩家 2，玩家 1 的最佳反應是玩純策略 $ A $ . 因此，不存在參與者 1 混合的納什均衡 $ A $ & $ B $ .
(二) $ A $ & $ C $
如果玩家 1 玩 $ A $ 有機率 $ p $ 和 $ C $ 有機率 $ (1-p) $ ， 在哪裡 $ 0<p<1 $ ，然後玩家 2 的預期收益
- $ D $ 是 $ 4p+6(1-p) = 6 - 2p $
- $ E $ 是 $ 6p + 4(1-p) = 2p + 4 $
- $ F $ 是 $ 6p + 0(1-p) = 6p $
自從遊戲的回報 $ E $ 不僅僅是遊戲的回報 $ F $ ，他永遠不會選擇 $ F $ 響應玩家 1 的任何混合策略，其中 1 玩 $ A $ 有機率 $ p $ 和 $ C $ 有機率 $ (1-p) $ . 所以， $ F $ 如果 1 玩混合策略，則永遠不是玩家 2 的最佳反應 $ A $ 有機率 $ p $ 和 $ C $ 有機率 $ (1-p) $ . 現在讓我們考慮以下情況 $ p $ :
- $ 0 < p < 0.5 $ 在這種情況下，玩家 2 有一個獨特的最佳響應，那就是玩 $ D $ , 響應哪位玩家 1 想玩純策略 $ B $ ，而不是混合 $ A $ 和 $ C $ .
- $ 0.5 < p < 1 $ 在這種情況下，玩家 2 有一個獨特的最佳響應，那就是玩 $ E $ , 響應哪位玩家 1 想玩純策略 $ C $ , , 而不是混合 $ A $ 和 $ C $ .
- $ p = 0.5 $ 在這種情況下，玩家 2 對玩遊戲無動於衷 $ D $ 和 $ E $ , 如果 2 適當地在它們之間混合，即通過選擇播放 $ D $ 有機率 $ 0.5 $ 和 $ E $ 有機率 $ 0.5 $ ，它將給玩家 1 留下兩個最佳響應 $ A $ 和 $ C $ 因此，1 現在可以選擇玩 $ A $ 和 $ C $ 以相等的機率。因此，我們在這種情況下找到了一個混合策略納什均衡：玩家 1 選擇玩 $ A $ 機率為 0.5 和 $ C $ 機率為 0.5，玩家 2 選擇玩 $ D $ 機率為 0.5 和 $ E $ 機率為 0.5。
㈢ $ B $ & $ C $
如果玩家 1 玩 $ B $ 有機率 $ p $ 和 $ C $ 有機率 $ (1-p) $ ， 在哪裡 $ 0<p<1 $ ，然後玩家 2 的預期收益
- $ D $ 是 $ 4p+6(1-p) = 6 - 2p $
- $ E $ 是 $ 2p + 4(1-p) = 4 - 2p $
- $ F $ 是 $ 4p + 0(1-p) = 4p $
自從遊戲的回報 $ D $ 超過為玩家 2 採取任何其他策略的回報，他將始終選擇 $ D $ 響應玩家 1 的任何混合策略，其中 1 玩 $ B $ 有機率 $ p $ 和 $ C $ 有機率 $ (1-p) $ . 所以， $ D $ 如果 1 玩混合策略，是玩家 2 的最佳反應 $ B $ 有機率 $ p $ 和 $ C $ 有機率 $ (1-p) $ . 然而，鑑於策略 $ D $ 玩家 2，玩家 1 的最佳反應是玩純策略 $ B $ . 因此，不存在參與者 1 混合的納什均衡 $ B $ & $ C $ .