多維產品差異化和密度函式
我正在為一個審查工作的模型（連結）遇到問題。
作者使用了具有正交特徵的多維產品空間 (x,y) 的兩家公司酒店模型，這些產品空間均勻分佈在單位平方上。偏好是標準的：
$$ U_i = V - p_i -t |x-x_i| - t |y-y_i| $$
我了解模型的機制（尋找冷漠的消費者、推導需求、尋找利潤、最佳響應等），但我對一些利潤函式和消費者剩餘函式背後的數學有疑問。特別是，密度和 cdf 的積分真的讓我很煩惱。
在證明 (eq. 31) 中，作者在以下情況下找到了需求： $ p_1 > p_2 $ 通過如下積分：
$$ D_1 = \int_0^\hat{x} F(y \leq \tilde y(x)) f(x) dx $$
$ \hat{x} $ 是冷漠消費者軌蹟的截距。 $ \tilde{y} $ 是企業 1 的邊際消費者。F() 應該是 CDF，而 f(x) 應該是邊際密度。我的理解是$$ F(y \leq \tilde y(x)) = \int_0^{\tilde{y}} f(y) dy = y ]_0^\tilde{y} $$
它是否正確？
然後不明白是什麼 $ f(x) $ 是…鑑於 x 是標準制服，這不應該只是 1 整合後將成為 $ x]_0^\hat{x} $ ?
對不起，太晚了，我的大腦沒電了。我不得不問，因為我離我的舒適區很遠……希望你能幫上忙。
大概，作者大概是在假設 $ x_i $ 和 $ y_i $ 除了對 pg 的陳述假設之外，它們是獨立的。7 類型“是正交的”（僅表示不相關。）（但是，由於它們也是均勻分佈的，我們有， $ f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\equiv 1, \forall x,y $ ，意味著它們是獨立的。）
假設獨立， $$ \iint_{{(x,y):0\le y\le \tilde y(x),0\le x\le 1}} f_{X,Y}(x,y),dydx = \int_0^1 f_X(x)\left[\int_0^{\tilde y(x)} f_Y(y),dy\right]dx. $$