剩餘/租金函式的多維篩选和凸性
我開始閱讀壟斷者銷售的多維篩選模型的文獻 $ n $ 貨物給連續的買家 $ m=n $ 維類型，Rochet (1987)證明，當且僅當剩餘函式是凸的時，機制是可實現的。讓 $ s(\theta) $ 是定義為的剩餘函式 $ \max{ u(x,\theta) -t(\theta)} $ 在哪裡 $ x \in \mathbb{R}^n $ ， 和 $ t $ 是壟斷者根據稅收原則公佈的關稅函式。
例如，壟斷者解決了最大化以下功能的問題（假設生產商品的成本為 0）
$$ \max J(t) = \int_D t(\theta) \mathrm{d} \theta = \int_D u(x,\theta)-s(\theta) \mathrm{d} \theta $$在哪裡 $ \theta \in [0,1]^n $ 和 $ t: [0,1]^n \to \mathbb{R} $ . 我的問題是：事實背後的直覺是什麼 $ s(\theta) $ 必須是凸的？如果函式是分段線性的（因此是微凸的）但全域是凹的，即沿零測量集存在扭結，會發生什麼？你能指出我的任何資源嗎？
首先，重要的是要清楚 Rochet 證明了什麼。定理 $ 1 $ 在 Rochet (1987) 的著作中，他表明循環單調性等同於一般環境（即任意分配/類型空間）的機制的可實現性。（見定理陳述 $ 1 $ ，或標准文本，如 Borgers (2015)，用於定義週期性單調性。）
凸性結果（命題 $ 2 $ ) 適用於以下情況 $ u(x,\theta) $ 是線性的 $ \theta $ . 在這種情況下，我們有
$$ V(\theta) = \max_{\theta^\prime} , u\left(x\left(\theta^\prime\right),\theta\right) - t\left(\theta^\prime \right) . $$ 的凸度 $ V $ 源於它是線性函式族的最大值。我不確定這裡是否有更多的直覺，但簡單的繪圖可能會有所幫助。（也就是說，畫兩條相交的直線。兩條直線上的最大值將是凸的，而最小值將是凹的。）這也可能有所幫助。