MWG 8.B.7 - 任何嚴格佔優策略都必須是純策略
這個問題來自 MWG 8.B.7
任何嚴格佔優策略都必須是純策略。
我怎樣才能顯示這個？
我的解釋如下：
假設我們有一個嚴格佔優策略， $ \sigma_i $ . 進一步假設 $ \sigma_i $ 不是退化的純策略。然後 $ \sigma_i $ 不能嚴格支配任何純粹的策略 $ \sigma_i $ 指定以正機率進行遊戲。因此 $ \sigma_i $ 不能嚴格佔優。因此， $ \sigma_i $ 如果要嚴格佔優，則必須是退化的純策略。
但我想這只是一個解釋我的想法。
我怎樣才能在數學上證明這句話？
修復任何 $ \sigma_{-i} $ . 認為 $ \sigma_i $ 是嚴格佔優但不是純粹的策略。讓 $ X $ 成為支持者 $ \sigma_i $ . 自從 $ \sigma_i $ 嚴格支配所有純策略 $ s_i\in X $ ， 我們有$$ \pi_i(\sigma_i,\sigma_{-i})>\pi_i(s_i,\sigma_{-i}) $$對所有人 $ s_i\in X $ . 這意味著$$ \sigma_i(s_i)\pi_i(\sigma_i,\sigma_{-i})>\sigma_i(s_i)\pi_i(s_i,\sigma_{-i}) $$對所有人 $ s_i\in X $ . 總結給出$$ \sum_{s_i\in X}\sigma_i(s_i)\pi_i(\sigma_i,\sigma_{-i})>\sum_{s_i\in X}\sigma_i(s_i)\pi_i(s_i,\sigma_{-i})=\pi_i(\sigma_i,\sigma_{-i}), $$暗示$$ \pi_i(\sigma_i,\sigma_{-i})\sum_{s_i\in X}\sigma_i(s_i)>\pi_i(\sigma_i,\sigma_{-i}) $$因此$$ \pi_i(\sigma_i,\sigma_{-i})>\pi_i(\sigma_i,\sigma_{-i}), $$這是一個矛盾。