嵌套/遞歸動態效用函式
我想找到一種表示王朝效用函式的方法，其中不僅王朝首領的效用取決於其後代的效用，而且家族樹的所有成員都從其後代的效用中獲得效用。特別是，我想為一個人的總效用 $ U_{x_{i}}=u(x_i)+u(x_{i+1}) + u(x_{i+2}) $ 對全部 $ i $ 在朝代，哪裡’ $ u(x_{i}) $ ’ 表示效用 $ x_i $ 這不依賴於子女和孫子女的效用（“非父母效用”）。所以我想要一個模型，它允許我們說王朝首領的效用部分是他的子孫效用的函式，但他的子孫的效用又部分是他孫子和曾孫的效用的函式，等等。
在貝克爾和巴羅的模型中，我們有$$ \begin{equation} U_{x_0}=\sum_{i=0}^{n}N_i \beta_i(u(x_i)). \end{equation} $$,
在哪裡 $ N $ 是一代人的後代數量 $ i $ 和 $ \beta $ 是代際利他貼現率。這個模型的問題是它缺乏上面解釋的“嵌套”或“遞歸”特徵——它只是說明王朝的首領從他的後代的效用中獲得效用，而沒有考慮到他的後代效用可能反過來取決於他們的後代的效用。子孫的功用。
加上折扣元素，我舉個具體的例子：假設我，作為朝代的元首（ $ x_0 $ )，直接獲得我所有孩子的效用的 50% (i=1) 和我孫子的效用的 25% (i=2)。假設我沒有直接從我的曾孫的效用中獲得任何效用。我仍然會間接地從我的曾孫獲得效用，因為我的孩子獲得了他們 25% 的效用，而我的孫子們獲得了 50% 的效用。如果我們為簡單起見假設我的孩子生了一個孩子，而後者又生了一個孩子，而後者又生了一個孩子 $ u(x_3)=1 $ ，那麼我間接獲得 $ 50%*25%*1 + 25%*50%*1 $ = 我曾孫的 0.25 個實用程序。我如何得到這種現象的一般表達，它適用於 $ n $ 幾代人？
非常感謝任何建議或指示！
讓 $ \delta_i=N_i\beta_i $ . 我想你想要的是一代 $ i $ 的實用程序是這樣的： $$ \begin{equation} U_i=u(x_i)+\delta_{i+1}U_{i+1}+\cdots+\delta_{i+n}U_{i+n}, \end{equation} $$ 在哪裡 $ i $ 從他自己的消費中獲得效用 $ u(x_i) $ 以及他子孫的功用， $ U_{i+t} $ 為了 $ t=1,\dots,n $ ，超過他們自己的消費和他們的後代公用事業。可以嘗試遞歸擴展上面的表達式，得到一個只涉及到的形式 $ u $ 和 $ \delta_i $ 的。然而，這將是一團糟，主要是因為折扣因素。
如果您願意假設一個恆定的折扣因子，即 $ \delta_{i+t}=\delta^t $ ， 以便 $$ \begin{equation} U_i=u(x_i)+\delta U_{i+1}+\cdots+\delta^n U_{i+n}, \end{equation} $$ 然後事情變得更易於管理。特別是，與 $ n=2 $ （即一個只關心兩代人）並讓 $ v_i=u(x_i) $ 為了符號簡單，你得到 $$ \begin{align} U_i=v_i+\delta v_{i+1}+2\delta^2 v_{i+2}+3\delta^3v_{i+3}+5\delta^4v_{i+4}+8\delta^5v_5+\cdots = \sum_{t=0}^\infty F_{t+1}\delta^t v_{i+t}, \end{align} $$ 在哪裡 $ F_{t+1} $ 是斐波那契數列。