最優價格和外部性數量
我正在嘗試解決以下問題：
讓 $ h \geq 0 $ 代表企業生產對一個（代表）消費者的負外部性。消費者有一個準線性的效用函式並且附加一個效用 $ \phi(h) = -2h^2 $ 到外部性。企業的利潤函式為 $ \pi(h)=120-2(h-10)^2 $ . 假設消費者擁有財產權 $ h $ 並且可以出售生產一定數量的權利 $ h $ 以某種價格 $ P $ . 某種組合的消費者效用函式 $ (h,P) $ 是 $ u(h,P)= \phi(h) + P $ . 企業的利潤函式為 $ \Pi(h,P)=\pi(h)-P $ .
- 假設公司可以在外部性水平上為消費者提供“要麼接受要麼放棄”的提議 $ h $ 價格 $ P $ . 如果消費者拒絕公司的報價，公司不生產，因此消費者的效用為 0。計算公司的最優報價 $ (h_p^f,P^f) $ 給消費者。
- 假設消費者可以使公司在外部性水平上接受或放棄 $ h $ 價格 $ P $ . 如果公司拒絕它無法生產的報價，則公司的利潤為 0。計算消費者的最優報價 $ (h_p^c,P^c) $ 到公司。
編輯：使用 Herr K 的提示進行處理。
- 消費者可以拒絕提供給他保證效用為 0 的報價。在此約束下最大化公司的利潤， $ u(h,P)= \phi(h) + P = 0 $ . 使用拉格朗日方法解決這個問題。 $$ Lagrangian = objective function + constraint $$ $$ \mathcal{L}(h,P,\lambda) = \Pi(h,P) + \lambda(\phi(h)+P) $$ $$ \mathcal{L}(h,P,\lambda) = \pi(h) - P + \lambda(-2h^2+P) $$ $$ \mathcal{L}(h,P,\lambda) = 120-2(h-10)^2 - P + \lambda(-2h^2+P) $$ $$ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial h} = -4(h-10)-4h\lambda = 0 \rightarrow \lambda = \frac{-4h+40}{4h} $$ $$ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial P} = -1 + \lambda = 0 \rightarrow \lambda = 1 $$ $$ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda} = -2h^2+P = 0 $$
當我們同時設置 $ \lambda $ 我們得到彼此相等 $ 1=\frac{-4h+40}{4h} \rightarrow h=5 $ . 將其插入 $ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda} $ 我們得到 $ -2(5)^2+P=0 \rightarrow 50=P $
因此 $ h_p^f = 5 $ 和 $ P^f= 50 $
- 我們做同樣的事情，但這次目標函式是消費者的效用函式 $ u(h,P)= \phi(h) + P $ 約束是公司的利潤函式 $ \Pi(h,P)=\pi(h)-P $ = 0.
$$ Lagrangian = objective function + constraint $$ $$ \mathcal{L}(h,P,\lambda) = \phi(h)+P + \lambda(\Pi(h,P)) $$ $$ \mathcal{L}(h,P,\lambda) = -2h^2+P + \lambda(\pi(h) - P) $$ $$ \mathcal{L}(h,P,\lambda) = -2h^2+P + \lambda(120-2(h-10)^2 - P) $$ $$ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial h} = -4h -4\lambda(h-10) = 0 \rightarrow \lambda = -\frac{h}{h-10} $$ $$ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial P} = 1 -\lambda = 0 \rightarrow \lambda = 1 $$ $$ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda} = 120-2(h-10)^2 - P = 0 $$
當我們同時設置 $ \lambda $ 我們得到彼此相等 $ 1=\frac{h}{h-10} \rightarrow 2h=5 $ . 將其插入 $ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda} $ 我們得到 $ 120-2((5)-10)^2 - P=0 \rightarrow 70=P $
因此 $ h_p^c = 5 $ 和 $ P^c= 70 $
你的步驟看起來是正確的。第一個有一個小錯別字 $ \frac{\partial \mathcal L}{\partial h} $ ： 術語 $ -4h(h-10) $ 本來應該 $ -4(h-10) $ .
結果看起來也很合理：無論是誰提出報價，帕累托最優水平 $ h $ 被生產。考慮到討價還價程序的結構，誰提出要約就可以保留剩餘的 $ 20 $ .
PS問題的第2部分有一個問題。它說：“如果公司拒絕它無法生產的報價，那麼公司的利潤為 0。” 這種說法是矛盾的。如果公司不能生產（ $ h=0 $ )，那麼利潤將是 $ -80<0 $ ; 如果它的利潤是 $ 0 $ ，那麼它必須產生一些正量的 $ h $ . 但這種缺乏嚴謹性的原因是寫這個問題的人，而不是你。