與成本最小化問題相關的最優生產投入
當存在三個變數時，我正在做功課，並且對如何接近最佳輸入水平感到非常困惑。我目前的理解是，問題是解決優化問題
$$ \min_{H, L, K};{sH + wL +rK} $$ 受制於 $$ q = \min{H,L} + \min{H,K} $$
但是，我不知道如何確定 H、L 和 K 的輸入。以下是問題：
壟斷者可以僱傭高技能勞動力 $ H $ , 低技能勞動力 $ L $ , 和機器人 $ K $ . 這些投入的單位價格為 $ s $ , $ w $ ， 和 $ r $ . 高技能勞動力更昂貴： $ s > w $ . 生產函式為 $ f(H, L, K) = \min{H, L} + \min{H, K} $ . 壟斷者面臨的需求曲線是 $ D(p) = A-p $ ， 在哪裡 $ A > w + r + s $ . 假設機器人很便宜： $ r < w + s $ .
本質上，我們被要求根據 H、L、K 的 q 來找到最優的輸入水平（產生最低成本）
我一開始以為 $ r<w+s $ ， 和 $ w<s $ , 我們可以推斷 $ r<s+s $ ，因此，生產函式將給出 $ q = H+K $ , $ q = L+H $ ， 或者 $ q = L+K $ （製造 $ H+H $ 唯一不可能的組合）。但是，我非常不確定這是否是正確的思考過程，我不知道如何從這裡開始。
任何幫助是極大的讚賞。
我建議您按照以下步驟操作：
- 設置最小化成本問題（即對於給定的輸出數量 $ y $ 最小化成本）： $$ \begin{align} \min_{H,L,K}& \quad sH + wL + rK \tag{1} \label{1}\ \text{such that} &\quad \min{H,L} + \min{H, K}\geq y \tag{2} \label{2} \end{align} $$
- 原則上您有 3 個案例，具體取決於因素的價格 $ (s,w,r) $ .
**1)**什麼時候 $ r>s+w $ ，然後購買一個單位 $ L $ 和其中之一 $ H $ 會比購買一個單位花費你更少的錢 $ K $ . 因此，壟斷者選擇只使用 $ H $ 和 $ L $ ( $ K=0 $ ）。因此 $ H = L = y $
2）第二種情況發生在 $ s>r+w $ 無論如何，這被假設排除了 $ w>s $ （如果不是這種情況，則僅使用 $ H $ 和 $ K $ 本來是最優的，即 $ H = K = y $ 和 $ L = 0 $ ).
**3）**最後，當以上都沒有發生時，你有 $ L = H $ 和 $ K = H $ 因為固定比例的生產函式。那麼約束 $ \eqref{2} $ 變成 $ H + H \geq y $ 不等號變成等號。等號來自於產生超過 $ y $ （LHS的 $ \ref{2} $ 嚴格大於 RHS）只是過衝並誇大了給定的生產成本 $ y $ . $ L = H $ 和 $ K = H $ 來自Leontief 生產設置的問題：內部 $ \min{…,…} $ 操作員從不方便利用這兩個因素中的更多一個（因為通過減少最常用的因素，一個仍然可以獲得相同數量的輸出但成本更低）。因此，兩者中的每一個 $ \min{…,…} $ 可以看作是它的內在論點之一，即，為了方便， $ H $ . 所以你終於得到 $ H+H = y $ 並且，從那裡： $ H = y/2 $ 和 $ L = K = y/2 $
- 代入最優值 $ {\big(H^\small{(s,w,r)},L^\small{(s,w,r)},K^*\small{(s,w,r)}\big)} $ 在 $ \eqref{1} $ 所以只能在 $ (s,w,r) $ . 這個表達式是成本函式 $ C(s,w,r,y) $
- 現在解決給定要素價格的壟斷者定價問題： $$ \begin{equation} \max_p \quad p\cdot D(p) - C\big(s,w,r,D(p)\big) \end{equation} $$ 並找到利潤最大化的價格， $ p^* $ 輸出電平 $ y^* = D(p^*) $
我希望這會有所幫助，如果您需要更多提示，請在下方評論。
@GabMac，我不認為 L=H, K=H 將始終保持此功能。我認為 L=H, K=H 成立，因為不等式 r < w + s。如果 r > w + s，即使生產函式保持固定比例，生產者也總是只生產 H,L 且 K=0。答案是正確的，但我認為只有修改生產函式的推理是錯誤的。因此，由於給定的不等式 r < w + s，L=H,K=H。