Kuhn-Tucker 條件下的優化問題
考慮一個有兩個玩家的遊戲，其中每個玩家 $ i=1,2 $ 有偏好 $ u_i=s_i^a c_i^{1−a} $ ， 在哪裡 $ c_i $ 是消費和 $ s_i $ 是社互動動。 $ s_i $ 是（誰）給的 $ s_i=t_i+t_{ij}\times t_{ji} $ ， 在哪裡 $ t_i $ 是玩家花費的時間 $ i $ 單獨和 $ t_{ij} $ 是時間玩家 $ i $ 與玩家一起度過 $ j $ . 播放器 $ i $ 必須決定他或她有多少時間 $ T $ 在工作之間分配，有時間獨處， $ t_i $ , 和社互動動 $ t_{ij} $ . 假設每個小時，玩家 $ i $ 工作，他或她賺取工資 $ w $ 並假設消費品的價格 $ c_i $ 正規化為 $ p=1 $ .
仔細定義玩家 1 的優化問題。寫下 Kuhn-Tucker 條件並討論這些條件。解釋為什麼玩家 1 面臨戰略形勢。找出玩家 1 和 2 的最佳響應函式。繪製這些函式。
我的解決方案：
$ L = s_i^a c_i^{1-a} - \lambda(c_i + s_i - (T-s_i)w) + \mu (c_i + s_i - T) $
火：
$ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = c_i + s_i - (T - s_i)w = 0 $
$ \frac{\partial L}{\partial s_i} = a s_i^{a-1} c_i^{1-a} - \lambda(1+w) +\mu = 0 $
$ \frac{\partial L}{\partial c_i} = (1-a) s_i^a c_i^{-a} - \lambda +\mu = 0 $
$ \frac{\partial L}{\partial \mu} = c_i + s_i - T = 0 $
按照這個程序，我無法找到解決方案。請與我分享你的想法。
解決我得到：
播放器 $ 1 $ 的效用最大化問題如下：
$$ \max_{0 \leq t_{12} \leq T} \ \ \left(T-t_{12} + t_{12}t_{21}\right)^a \left(w(T-t_{12})\right)^{1-a} $$ 解決上述問題的等效方法是最大化 $ \log $ 的目標，即一個人可以解決
$$ \max_{0 \leq t_{12} \leq T} \ \ a\ln\left(T-t_{12} + t_{12}t_{21}\right) +(1-a)\ln \left(w\right) + (1-a)\ln \left(T-t_{12}\right) $$ 解決它，我們得到玩家 1 的最佳響應函式為
$$ \begin{eqnarray*} t_{12} = \begin{cases} 0 & \text{if } t_{21} \leq\frac{1}{a} \ \frac{T(at_{21}-1)}{(t_{21}-1)} & \text{if } t_{21} > \frac{1}{a} \end{cases} \end{eqnarray*} $$ 同樣，玩家 2 的最佳響應函式是
$$ \begin{eqnarray*} t_{21} = \begin{cases} 0 & \text{if } t_{12} \leq \frac{1}{a} \ \frac{T(at_{12}-1)}{(t_{12}-1)} & \text{if } t_{12} \geq \frac{1}{a} \end{cases} \end{eqnarray*} $$ 現在您可以解決最佳響應以獲得納什均衡。