在 4 個輸入/輸出約束下優化拉格朗日函式：
目標函式：
$$ \text{utility}=U\left(x_{c}, y_{c}\right) $$
受制於，
- $ x_{o}=f\left(y_{i}\right) $
- $ y_{o}=g\left(x_{i}, x_{o}\right) $
- $ x_{c}+x_{i}=x_{o}+x^{*} $
- $ y_{c}+y_{i}=y_{o}+y^{*} $
其中 o 代表產出，i 代表投入，c 代表消費，* 代表初始數量庫存。拉格朗日組合，一階條件如下： $$ \begin{array}{l}{\partial \mathscr{L} / \partial x_{c}=U_{1}+\lambda_{3}=0} \ {\partial \mathscr{L} / \partial y_{c}=U_{2}+\lambda_{4}=0} \ {\partial \mathscr{L} / \partial x_{i}=\lambda_{2} g_{1}+\lambda_{3}=0} \ {\partial \mathscr{L} / \partial y_{i}=\lambda_{1} f_{y}+\lambda_{4}=0} \ {\partial \mathscr{L} / \partial x_{o}=-\lambda_{1}+\lambda_{2} g_{2}-\lambda_{3}=0} \ {\partial \mathscr{L} / \partial y_{o}=-\lambda_{2}-\lambda_{4}=0}\end{array} $$
簡化導致以下表達式： $$ M R S=\frac{U_{1}}{U_{2}}=\frac{\lambda_{3}}{\lambda_{4}} $$ $$ M R S=\frac{\lambda_{3}}{\lambda_{4}}=\frac{\lambda_{2} g_{1}}{\lambda_{2}}=g_{1} $$ $$ M R S=\frac{\lambda_{3}}{\lambda_{4}}=\frac{-\lambda_{1}+\lambda_{2} g_{2}}{\lambda_{4}}=\frac{-\lambda_{1}}{\lambda_{4}}+\frac{\lambda_{2} g_{2}}{\lambda_{4}} $$ $$ =\frac{1}{f_{y}}-g_{2} $$
問：文本指出，y 生產的最優性要求個人消費的 MRS 等於 x 生產 y 的邊際生產力。我不明白這個說法。我們在優化效用而不是生產函式？
我認為它指的是最佳 $ y $ （即通常在微積分中表示為 $ y^* $ - 但您已經將其用於初始庫存）。
有意義的是，為了最大化效用，MRS 應該等於邊際生產率，因為 MRS 應該等於價格比率，在這種情況下，人們為自己生產商品，價格將等於邊際生產成本，而邊際成本反過來將也等於邊際產品（本質上為自己生產就像在一個完全競爭的市場中）。直覺是，只有在消費的邊際效用等於生產的邊際負效用的情況下，人們才會生產商品，好像你生產的更少，你可以通過生產更多來增加效用，如果你生產的多，你可以增加效用通過減少生產。至少這是我對這種模型背後的直覺的理解。