完美替代品和拉格朗日
如何使用拉格朗日函式解決完美替代品的效用最大化？
考慮問題 $$ \max_{x,y} ax +by $$
受限於
$$ px + qy \leq I $$
在哪裡 $ a,b,p,q,I>0 $ .
注意問題陳述受標準隱含假設的約束，即消耗不能為負。
你的拉格朗日將是 $$ L = (ax+by)+\lambda (I−p_x x−p_y y) +\mu_x(x−0)+\mu_y(y-0), $$ 其中最後兩項表示限制 $ x,y\geq0 $ .
然後你到達條件 $$ \frac{\partial L}{\partial x}= a -\lambda p_x +\mu_x=0 $$ $$ \frac{\partial L}{\partial y}= b -\lambda p_y +\mu_y=0 $$ $$ I=p_x x+p_y y $$ 和互補鬆弛條件 $$ \mu_x x =0 , \quad \mu_y y =0. $$
然後，您考慮許多不同的情況： $ (\mu_x>0,x=0,\mu_y=0,y>0),(\mu_x=0,x>0,\mu_y=0,y>0), (\mu_x=0,x=0,\mu_y=0,y>0), …. $ 對於他們每個人，您都會查看您的條件：
認為 $ (\mu_x>0,x=0,\mu_y=0,y>0) $ . 然後， $$ a -\lambda p_x +\mu_x=0 \Rightarrow a -\lambda p_x <0 $$ $$ b -\lambda p_y +\mu_y=b -\lambda p_y=0 $$ $$ \Rightarrow a -\frac{b}{p_y} p_x <0 \iff \frac{a}{p_x} <\frac{b}{p_y} $$ 這個條件可以檢查為 $ a,b,p_x,p_y $ 給出。如果不成立， $ x=0,y>0 $ 不能成為解決方案。如果它確實成立，則意味著每美元的效用永遠更高 $ y $ 所有的錢都應該花在 $ y $ （哪一個 $ x=0,y>0 $ 和預算約束暗示）。
您必須檢查所有案例，但您會得到上述表格的解決方案。