(偏好關係/集合) 連續≿≿succsim暗示上下輪廓集的封閉性
$$ ADDED/MODIFIED $$: 我把我的證明放在了商品空間簡單的地方 $ \mathbb{R_+} $ （例如非負實數）為簡單起見。請分享你的 2 美分。我已經用文字來幫助我自己的理解……
我試圖理解一種等效的方式來說明“一種連續的偏好關係 $ X $ 是連續的”就是說“上下輪廓集是閉合的”。我不明白的是，當第 3 章的 Micro Book 中的 MWG 說以下內容時：
的連續性 $ \succsim $ 關於 X 意味著對於任何點序列 $ {y^n} $ 和 $ x\succsim y^n $ $ \forall n $ 和 $ y^n $ 收斂到 $ y $ ， 我們有 $ x\succsim y $ . 而且，這意味著下輪廓 $ L(x)={y\in X:x\succsim y} $ 集已關閉。
我的問題是：上述陳述如何暗示下輪廓集是封閉的？
$$ New Attempt $$證明：
(1) 召回定義 3.C.1（修改為 $ \mathbb{R} $ ):
偏好關係 $ \succsim $ 在 $ X\subset\mathbb{R_+} $ 如果它在限制下被保存，它是連續的。也就是說，對於任何對的序列 $ {(x^n, y^n)}^\infty_{n=1} $ 和 $ x^n \succsim y^n $ 對全部 $ n $ , $ x = \lim_{n \rightarrow \infty} x^n $ ， 和 $ y = \lim_{n \rightarrow \infty} y^n $ ， 我們有 $ x \succsim y $ .
（換句話說，如果你有一個實數序列 $ x^n $ 和 $ y^n $ 其中每個術語 $ x^n $ 大於或等於 in $ y^n $ 和 $ x^n\rightarrow x $ , $ y^n\rightarrow y $ ，那麼你有 $ x\succsim y $ . 注意這裡，為了便於理解，我基本上將偏好關係等同於實數上的不等式，因此表述為“大於或等於”。一個例子是 $ x=2,y=1 $ . 本質上，在實線上查看 2 和 1 的等價類，其限制是它不是收斂到這些數字的任何序列，而是需要縮小到收斂序列的組，其中每個項在 $ x^n $ 大於或等於 in $ y^n $ .)
(2) 上述定義意味著：對於任何對的序列 $ {(x^n, y^n)}^\infty_{n=1} $ 和 $ x\succsim y^n $ $ \forall n $ ， 在哪裡 $ x^n=x $ $ \forall n $ 和 $ y^n $ 收斂到 $ y $ ， 我們有 $ x\succsim y $ .
（（1）當然暗示（2），因為再想想例子， $ x^n=2, 2, 2, \dots $ 和 $ y^n $ 作為 1 的等價類的任何成員，每個項都必須小於或等於 2。序列的集合如何 $ y^n $ 滿足這個條件居然真的就行了？每個項必須小於或等於 2 但我們處於非負商品空間 $ \mathbb{R_+} $ ，所以我們有一組在區間內有界的序列 $ [0,2] $ 但收斂到數字 1。這個例子對於任何一對實數序列仍然有效 $ x^n\geq y^n $ 在哪裡 $ y^n $ ，實數序列是有界序列 $ [0,x] $ 收斂到任何一點 $ y\in[0,x] $ 儘管 $ x^n=x,x,x,\dots $ ， 我們有 $ x\geq y $ .)
(3) 定義下輪廓集為 $ L(x)={y\in X:x\succsim y} $ . 那麼，(2) 意味著 $ L(x) $ 已經關閉。
（在（2）中，我們得到了對於任何一對實數序列 $ x^n\geq y^n $ 在哪裡 $ y^n $ ，實數序列是有界序列 $ [0,x] $ 收斂到任何一點 $ y\in[0,x] $ 儘管 $ x^n=x,x,x,\dots $ ， 我們有 $ x\geq y $ . 下等高線集正是實數的集合 $ y $ 使其小於或等於某個 $ x $ 在實線上。那麼對於任何實數 $ y\in[0,x] $ , 你有一個實數序列 $ 0 $ 和 $ x $ 它在哪裡收斂 $ y $ 。然後， $ L(x) $ 包含它的所有極限點。因此，它被關閉了。）
$$ Old Attempt $$ 我的直覺是顯示下輪廓集是封閉的，相當於顯示該集包含其所有極限點。你是怎麼做到的？好吧，在這種情況下，它是顯示下輪廓集是否包含其邊界點。集合中的這些點只是無差異集 $ I(x)={y\in X:y\sim x} $ . 然後，我想展示 $ I(x)\subset L(x) $ .
證明 ：（1）假設 $ x\in I(x) $ .
(2) 根據定義， $ x\succsim y $ 和 $ y\succsim x $ $ \iff x\sim y $ . 因此， $ I(x)={y\in X:y\succsim x}\cap{y\in X:x\succsim y} $ .
(3) 因此， $ x\in L(x) $ 和 $ I(x)\subset L(x) $ . 量子點
我的方法是否不完整，我應該如何理解 MWG 的上述主張？請幫忙。謝謝！！
仔細看看你的問題，我認為事情不應該過於復雜。來自 Mas-Colell 等人。
定義 3.C.1：
偏好關係 $ \succsim $ 如果 X 在極限下保持不變，則它是連續的。也就是說，對於任何對的序列 $ {(x^n, y^n)}^\infty_{n=1} $ 和 $ x^n \succsim y^n $ 對全部 $ n $ , $ x = \lim_{n \rightarrow \infty} x^n $ ， 和 $ y = \lim_{n \rightarrow \infty} y^n $ ， 我們有 $ x \succsim y $
這本書接著說顯示下等高線集和上等高線集是封閉的，是等價的。
正如您所注意到的，閉集是包含其所有極限點的集合。這意味著任何收斂的點序列 $ {x^n}^\infty_{n=1} \rightarrow x $ 在集合內收斂。
由於下等高線集和上等高線集的構造方式，您可以將上等高線集中的所有收斂序列視為 $ {x^n}^\infty_{n=1} $ 下等高線集中所有點的收斂序列為 $ {y^n}^\infty_{n=1} $ . 在這種情況下，所有 $ x \succsim y $ .
但對於不連續的偏好來說，情況就不一樣了！只需嘗試在輪廓集閉合的地方繪製不連續的偏好。
（欣賞那傑作）
任何收斂到那個開放邊界的序列都有問題。
