具有兩個代理的委託代理問題
考慮以下委託代理問題。您是負責兩個工人的經理，索引為 $ i=1,2 $ . 每個工人都被要求執行一項特定的任務，每個人都可以在任務上努力工作，也可以無所事事（即，每個工人都可以選擇自己的行動 $ a_i\in{a_h,a_l} $ ).
每項任務對您的價值將是 $ \$10 $ 或者 $ \$0 $ . 該值部分取決於工人工作的努力程度，但也有一些隨機因素不在工人的控制範圍內：
$ \bullet $ 如果工人努力工作（即， $ a_i=a_h $ )，他的任務對你的價值的機率是 $ \$10 $ 是 $ 0.7 $ . 如果工人無所事事（即， $ a_i=a_l $ )，這個機率是 $ 0.3 $ ;
$ \bullet $ 此外，這兩個任務的結果之間存在相關性。如果兩個工人都努力工作，那麼就有 $ 0.6 $ 每個人將產生一個的聯合機率 $ \$10 $ 結果;
$ \bullet $ 如果兩個麵包，那麼有 $ 0.2 $ 每個人將產生一個的聯合機率 $ \$10 $ 結果;
$ \bullet $ 如果一個人閒著，另一個人努力工作，那麼就會有一個 $ 0.25 $ 每個人將產生一個的聯合機率 $ \$10 $ 結果。
每個工人都有一個效用函式 $ U(w,a)=\sqrt{w}-a $ ， 在哪裡 $ w $ 是收到的金額，並且 $ a=0 $ 閒逛和 $ a=0.8 $ 為努力工作。兩個工人有相同的效用函式，每個工人都有一個保留效用水平 $ 1 $ （即，工人的預期效用必須至少為 $ 1 $ 讓工人接受這份工作）。你是風險中性的。問題如下：
假設您希望提供能夠促使雙方努力工作的契約：必須誘導每個工人接受契約；每個工人，假設他的同事會努力工作，必須被誘導努力工作。提供的最佳契約是什麼？
我對標準委託代理問題很熟悉，但我無法理解這個問題的情況，無法設置個體理性（IR）和激勵相容性（IC）的條件。
（作為參考，這實際上是 Kreps 的教科書“微觀經濟理論課程”中的問題 16.3。任何建議或提示將不勝感激！）
雖然問題中沒有明確提及，但可以安全地假設經理可以分別觀察每個工人的結果，即 $ v_i $ 為了 $ i=1,2 $ . 如果是這種情況，IR 和 IC 條件取決於契約的確切條款。
例如，假設經理為每個工人提供條件 $ i $ 的工資 $ v_i $ 和 $ v_{-i} $ . 那是， $$ \begin{equation} w_i(v_i,v_{-i})= \begin{cases} w^{11}&\text{if $v_i=10,v_{-i}=10$}\ w^{10}&\text{if $v_i=10,v_{-i}=0$}\ w^{01}&\text{if $v_i=0,v_{-i}=10$}\ w^{00}&\text{if $v_i=0,v_{-i}=0$} \end{cases} \end{equation} $$
此外，讓 $ p_h^{11} $ 表示兩個工人產生高價值結果的機率（由上標表示 $ 11 $ ） 什麼時候 $ i $ 努力工作（用下標表示 $ h $ ) 和同事 $ -i $ 也很努力（我們壓制第二 $ h $ 在下標中，因為我們總是假設 $ -i $ 辛苦工作）。在更緊湊的符號中， $$ \begin{equation} p_h^{11}=\Pr(v_i=10,v_{-i}=10 \mid a_i=a_h, a_{-i}=a_h). \end{equation} $$ 機率 $ p_h^{10},p_h^{01},p_h^{00},p_l^{11},p_l^{10},p_l^{01},p_l^{00} $ 定義類似。
然後，工人的 IR 約束 $ i $ ，假設工人 $ -i $ 會努力工作，會 $$ \begin{equation} p_h^{11}\sqrt{w^{11}}+p_h^{10}\sqrt{w^{10}}+p_h^{01}\sqrt{w^{01}}+p_h^{00}\sqrt{w^{00}}-a_h\ge 1. \end{equation} $$ 工人的 IC 約束 $ i $ ，再次假設工人 $ -i $ 會努力工作，會 $$ \begin{multline} p_h^{11}\sqrt{w^{11}}+p_h^{10}\sqrt{w^{10}}+p_h^{01}\sqrt{w^{01}}+p_h^{00}\sqrt{w^{00}}-a_h\ \ge p_l^{11}\sqrt{w^{11}}+p_l^{10}\sqrt{w^{10}}+p_l^{01}\sqrt{w^{01}}+p_l^{00}\sqrt{w^{00}}-a_l.\end{multline} $$
從問題給出的資訊中，你應該能夠算出八個機率。
如果工資僅以 $ v_i $ ， 或者 $$ \begin{equation} w_i(v_i)= \begin{cases} w^1&\text{if $v_i=10$}\ w^0&\text{if $v_i=0$} \end{cases} \end{equation} $$ 那麼每個工人的 IR 和 IC 將是 $$ \begin{align} 0.7\sqrt{w^1}+0.3\sqrt{w^0}-a_h&\ge 1 \tag{IR}\ 0.7\sqrt{w^1}+0.3\sqrt{w^0}-a_h&\ge 0.3\sqrt{w^1}+0.7\sqrt{w^0}-a_l. \tag{IC} \end{align} $$