生產經濟一般均衡
我遇到了以下經濟模型。
考慮以下只有兩個家庭、兩種消費品的一般均衡模型（ $ x $ 和 $ y $ ）和兩個輸入（資本 $ k $ 和勞動 $ l $ ）。每個家庭都有可以選擇保留或在市場上出售的資本和勞動力禀賦。這些禀賦表示為 $ k_1, l_1 $ 和 $ k_2, l_2 $ 分別。家庭從他們購買的消費品數量和他們不向市場出售的勞動力（即休閒 $ = \overline{l_i} - l_i $ ）。這些家庭具有 Cobb-Douglas 效用函式：$$ U_1 = x_1^{0.5}y_1^{0.3}(\overline{l_1} - l_1)^{0.2} \ \ \ \text{ and } \ \ \ U_2 = x_2^{0.4}y_2^{0.4}(\overline{l_2} - l_2)^{0.2}. $$ 每個家庭都向市場提供其全部的資本禀賦。家庭保留了一些勞動力，因為休閒直接提供了效用。商品生產 $ x $ 和 $ y $ Cobb-Douglas 技術的特點是：$$ x = k_x^{0.2}l_x^{0.8} \ \ \ \text{ and } \ \ \ y = k_y^{0.8}l_y^{0.2}. $$ 初始禀賦是 $ \overline{k_1} = 40, \overline{k_2} = 10, \overline{l_1} = \overline{l_2} = 24 $ .
進一步假設 $ p_x, p_y $ 是商品的價格 $ x $ 和 $ y $ , $ w $ 是工資率（勞動力成本）和 $ r $ 是資本成本。
1. 生產用的勞動力和資本是只來自這兩個家庭，還是有其他我們不知道的代理人？
2. 如何計算均衡價格和分配？
這是我確定平衡的嘗試。家庭收入與預算約束 $ i $ 將會 $ I_i = wl_i+r(\overline{k_i}-k_i) $ 和 $ p_x x_i + p_y y_i \leq wl_i + r (\overline{k_i} - k_i) $ 分別。由於資本不影響效用， $ \overline{k_i} = k_i $ （也就是說，每一盎司的資本都將提供給市場），效用最大化問題將是： $$ \max [U_i(x_i, y_i, l_i)] \text{ subject to } p_x x_i + p_y y_i = wl_i $$
現在如何處理生產函式？
潛在回答者請注意：您無需進行繁瑣的計算。只是幫我建構最大化問題。
- 只有住戶。
- 建構平衡的最大化問題：
可行性條件：
各行業使用的勞動力總量 $ x $ 和 $ y $ 不超過兩戶提供的勞動力總量。
資本也是如此。
好貨總量 $ x $ 消費（家庭）不超過該行業供應的總量。
一樣的好 $ y $ .
最優條件：
給定價格（包括工資和利率），家庭的決定（受預算約束）最大化效用。
給定價格，公司的決策（取決於生產函式概述的技術可行性）最大化利潤。