具有三個結果的期望效用定理的證明
我試圖用三個結果證明預期效用定理。預期效用 $ n $ 在經濟學教科書 Mas-Colell 中，結果相當繁瑣且冗長。但是我希望具有三個結果的證明更短，但是，我在證明它時遇到了一些困難。
假設我有三張彩票 $ x \succeq y \succeq z $ . 我們可以想到 $ x $ 作為“最好的”彩票和 $ z $ 作為“最差”。可以設置 $ u(x)=1 $ 和 $ u(z)=0 $ 進而 $ u(y)=p $ 在哪裡 $ p $ 是與 a 進行賭博的機率 $ p $ 的機會 $ x $ 和一個 $ 1-p $ 的機會 $ z $ 無所謂 $ y $ .
我如何從這裡著手證明期望效用定理？
為了 $ n $ 結果，歐盟指出，鑑於 $ \succeq $ 滿足獨立性和連續性公理，存在效用函式 $ u:Z\rightarrow \mathbb{R} $ 這樣如果$$ p\succeq q\Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n}p_{i}u(z_{i})\geq \sum_{i=1}^{n}q_{i}u(z_{i}). $$
**編輯：**讓 $ u(x)= 1 $ 和 $ u(z) = 0 $ 線性縮放效用函式。所以我們想展示$$ u(y) = u\left ( px + (1-p)z \right ) = pu(x) + (1-p)u(z) = p \text{ by the independence axiom}. $$
既然我們假設 $ x \succeq y \succeq z $ 然後它遵循 $ u(x) \geq u(y) \geq u(z) $ ， 在哪裡 $ p \in [0,1] $ . 這有意義嗎？
我不確定這部分： $ u\left ( px + (1-p)z \right ) = pu(x) + (1-p)u(z) $ . 這是為三種結果的情況編寫證明的合法方式嗎？
為此，您需要定義 $ u(·) $ 作為“確定的事情”而不是彩票的實用功能。在您的範例中，您需要考慮彩票可能的獎品集合。假設一組可能的獎品由下式給出 $ R $ 並假設這是有限的。對於任何 $ r\in R $ ， 定義 $ w_r $ 作為支付的彩票 $ r $ 在每一種自然狀態下。那麼，應該清楚的是
$$ x \sim \sum_i p_i w_i, $$
（同樣對於 $ y $ 和 $ z $ ） 在哪裡 $ p_i $ 表示狀態的機率 $ i. $ 鑑於，正如您所提到的，兩個同樣理想的彩票必須獲得相同的預期效用，即分配給的效用 $ x $ 需要是
$$ H(x)=H\left(\sum_i p_i w_i\right). $$
Huang, C. and Litzenberger, RH Foundations for Financial Economics, North Holland, 1988的第一章詳細解釋了為什麼代表偏好的函式 $ (H(·)) $ 必須是線性的，並且線上性穩定的情況下，您會得到預期的效用表示，因為
$$ H\left(\sum_i p_i w_i\right)=\sum_i p_i H(w_i). $$
剩下的就是定義 $ u(r) \equiv H(w_r), $ IE， $ u(r) $ 是根據結果定義的，而 $ H(w_r) $ 是在彩票上定義的。這就是為什麼我們說 $ u(r) $ 是對某些事物的效用函式，因為 $ r $ 獲得與精確支付的彩票相同的效用水平 $ r $ 在每一種自然狀態下。
當然，預期效用在具有大結果空間和/或大彩票空間的環境中最有用。在像您這樣的受限環境中，最好為彩票本身分配值（“實用程序”）（就像您在問題中所做的那樣）。同樣，更嚴格的證明可以在 Huang 和 Litzenberger，op.cit 中找到。