UMP 中相切條件的證明
當無差異曲線與預算線相切時，偏好是凸的且單調的，為什麼切點對於UMP是最優的？
給定預算線 $ p_1 x + p_2 y = I $ , 讓 MRS $ _{xy} = \frac{p_1}{p_2} $ 在某一點 $ (a,b) $ . 將 MRS 定義為 $ \frac{dy(x)}{dx} $ 在哪裡 $ y : (a-\epsilon, a+\epsilon) \to \mathbb{R} $ 對於一個適當的小 $ \epsilon > 0 $ . 這就是說最優 IC 在切點周圍是可微的，並且任何其他點（在這個或其他 IC 中或 $ U $ 可能無法區分）。
我經常遇到這種情況，但我還沒有看到證據。如果 $ U $ 處處可微，則滿足 Kuhn-Tucker 條件，結果如下。問題在於，除了切點周圍相應 IC 的一個區域之外，每個點都不一定是可微的。
下面的證明不是很嚴格——我不討論不連續性——但我認為它很好地捕捉了邏輯。
來自維基百科：
認為 $ f $ 是在區間上定義的一個實變數的函式，並且讓 $$ R(x_{1},x_{2})={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}} $$
$$ … $$ $ f $ 是凸的當且僅當 $ R(x_{1},x_{2}) $ 是單調不遞減的 $ x_{1} $ 對於每一個固定的 $ x_{2} $ （或相反亦然）。
讓我們將切點表示為 $ (x^,y^) $ ，讓我們表示描述無差異曲線的函式 $ U(x^,y^) $ 經過 $ f $ .
自從 $ U $ 可微分於 $ (x^,y^) $ ， 我們有 $$ MRS(x^,y^) = f’(x^*). $$
根據導數的定義，我們有， $$ f’(x^) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x^ + h)-f(x^)}{x^ + h - x^*}. $$
使用維基百科引理，我們有任何 $ x < x^* $ $$ \frac{f(x)-f(x^)}{x - x^} \leq f’(x^) $$ 或者 $$ f(x) \geq f(x^) + (x - x^)f’(x^). $$ 因此任何籃子 $ (x,y) $ 在由定義的無差異曲線上 $ f $ 那是在左邊 $ x^* $ 位於切線之上或之上。由於切線與預算約束重合，因此這些籃子是無法實現的或只是可以實現的。假設價格為正，則無法獲得更高效用的籃子，因為這將違反單調性。
可以類似地表明 $$ f(x) \geq f(x^) + (x - x^)f’(x^) $$ 也適用於所有人 $ x > x^ $ ，因此在無差異曲線右側的籃子 $ x $ 也將是無法實現的或只是可以實現的。