顯示偏好弱公理的證明
我閱讀了以下聲明。
“具有嚴格凸和強單調偏好的效用最大化器滿足顯示偏好的弱公理。”
我如何證明或證明這一點？我無法在我的腦海中意識到這句話。請給我看它的證明，以便理解它的陳述。
據我所知，這僅來自定義：
如 MWG 定義 1.C.1 中所述：
選擇結構 $ (\mathscr{B},C(\cdot)) $ 如果以下性質成立，則滿足顯示偏好的弱公理：
如果對於一些 $ B \in \mathscr{B} $ 和 $ x,y \in B $ 我們有 $ x\in C(B) $ ，那麼對於任何 $ B’\in \mathscr{B} $ 和 $ x,y\in B’ $ 和 $ y\in C(B’) $ ，我們還必須有 $ x\in C(B’) $ .
這基本上表明，在顯示偏好（WARP）的弱公理下，如果有任何選擇集包含兩者 $ x $ 和 $ y $ 和 $ x $ 是首選，則不能有包含兩者的集合 $ x $ 和 $ y $ 在哪裡 $ y $ 將被選中 $ x $ . 或者我們可以說“如果 x 至少與 y 一樣好，那麼 y 不能被優先於 x 顯示”。
接下來根據 MWG 定義 3.B.2：
偏好關係 $ \succeq $ 在 $ X $ 是單調的，如果 $ x\in X $ 和 $ y >> x $ 暗示 $ y \succ x $ . 如果是強單調的 $ y \geq x $ 和 $ y \neq x $ 暗示 $ y\succ x $ .
此外，根據 MWG 定義 3.B.4：
偏好關係 $ \succeq $ 在 $ X $ 是凸的，如果對於每個 $ x\in X $ , 上計數集 $ {y \in X: y \succeq x} $ 是凸的；也就是說，如果 $ y \succeq x $ 和 $ z \succeq x $ ， 然後 $ \alpha y + (1-\alpha) z \succeq x $ 對於任何 $ \alpha \in [0,1] $ .
最後，效用最大化通常用於暗示理性（Simon 2001），並且偏好關係只能根據 MWG 定義 1.B.1 是理性的：
偏好關係 $ \succeq $ 如果它具有以下兩個性質，則它是有理的：
(i) 完整性：對所有人 $ x,y \in X $ 我們有 $ x\succeq y $ 或者 $ y \succeq x $ 或兩者。
(ii) 傳遞性：對所有人 $ x,y,z \in X $ 如果 $ x \succeq y $ 和 $ y \succeq z $ 然後 $ x \succeq z $ .
給定上述定義，如果滿足，那麼如果 $ y $ 顯示至少與 $ x $ , $ x $ 以後不能顯示更好。因此，它遵循這些屬性的定義。例如，如果做出以下選擇，將違反 WARP $ C({x,y}) = y $ 並且在 $ C({x,y,z}) = {x} $ ，由一個人保持他們的偏好不變——這種情況顯然違反了上述幾個定義。