證明：風險厭惡；確定性等值小於預期值
我想展示一個隨機分佈的變數 $ x $ 帶 CDF $ F(\cdot) $ ，給定一個伯努利效用函式 $ u(x) $ 以下屬性成立：
確定性等價物， $ CE(\cdot) $ , 小於期望值, $ \mathbb E(\cdot) $ ，當且僅當決策者厭惡風險。
$$ CE(F,u) \leq \int_{-\infty}^{\infty} x dF(x) \quad \forall F(\cdot) $$
通過 Jensens 不等式對於規避風險的代理人，我們有： $$ \int_{-\infty}^{\infty} u(x) f(x)dx \leq u(\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx) $$
我知道 CE 被定義為： $ u(CE) = \mathbb E(U(X)) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)u(x),dx $
因此，
$$ u(CE) \leq u(\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx) $$
和
$$ CE \leq \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $$
如果我們假設它是嚴格增加的，是否可以反轉 u() 函式？
我還考慮將其重新排列為：
$$ u(CE) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx * \int_{-\infty}^{\infty} u(x) dx $$
但我看不出這有什麼幫助。
我想也許表明風險溢價對於規避風險的代理人是正的是等價的，但我也無法開始。
我很高興能得到提示，讓我自己制定解決方案。
你基本上有證據，只要記住任何功能 $ f(x) $ 嚴格遞增，則 $ f(a)\leq f(b) $ 當且僅當 $ a\leq b $ . 對於任何嚴格遞增的函式，它的反函式也確實存在，但可能沒有必要這樣做。