證明在(∑ñn=1pn大號n)=∑ñnpn在(大號n)U(∑n=1NpnLn)=∑nNpnU(Ln)U(sum_{n=1}^{N}{p_nL_n})=sum_{n}^{N}{p_nU(L_n)}
我了解彩票的預期價值是 $ \sum_n^N{p_nL_n} $ 哪裡有 $ N $ 可能的結果，每個都有機率 $ p_n $ 和 $ n=1,…,N $ 和 $ \sum_{n}p_n=1 $ （我相信這是相當微不足道的）。
現在我們說 $ U(\sum_{n=1}^{N}{p_nL_n})=\sum_{n}^{N}{p_nU(L_n)} $ 或者換句話說 $ U(L)=u_1p_1+…+u_np_N $ 在哪裡 $ U:\mathbb{L} \mapsto \mathbb{R} $ 和 $ L=(p_1,…,p_n) \in \mathbb{L} $ .
這是為什麼？這只是預期效用的“定義”嗎？
為什麼，對於兩種結果的情況，
$ U(pL_1+(1-p)L_2)=pU(L_1)+(1-p)U(L_2) $ ?
這是否意味著預期值的效用等於預期效用，因為表達式 $ pL_1+(1-p)L_2 $ 是期望值嗎？雖然這不應該是真的（除非 U(x)=x），但在任何假設的地方都沒有說明。
我在 Varian，微觀經濟分析，第 11.3 章“預期效用函式的唯一性”中看到了這一點：
這不應該是 $ v(u(px+(1-p)y)) = … $ 在第一行？
這裡有什麼問題？我很困惑。
$ p\circ x\oplus(1-p)\circ y $ 是給你獎品的彩票 $ x $ 有機率 $ p $ 和價格 $ y $ 有機率 $ (1-p) $ . 除非 $ x,y $ 可以用數字來辨識，比如金額，拿這個抽獎的期待是沒有意義的。給你一頭牛的彩票的期望值是多少 $ 0.5 $ 和一隻羊，機率為 $ 0.5 $ ?
您還可以將獎品視為對獎品的抽獎，使用機率法則最終減少為對獎品的抽獎。
如果 $ U $ 給你每張彩票的預期效用，那麼你有 $$ U(p_1\circ L_1\oplus p_2 L_2\oplus\cdots\oplus p_n\circ L_n)=p_1U(L_1)+p_2 U(L_2)\cdots+p_n U(L_n). $$ 在右邊，你實際上是在期待，在左邊你申請 $ U $ 到復合彩票。有時人們在左邊寫下複合彩票，就好像它是一個加權和，並希望上下文能夠清楚地說明差異，但這些是與預期效用理論相關的真正不同的東西。