來自 Mas-Colell 等人教科書的條件需求對應屬性
我對條件需求對應的屬性有疑問
讓 $ z(w,q) $ 是條件因素需求對應，即成本最小化問題的解
$$ \begin{align} \min_z \quad& w\cdot z \ \text{subject to}\quad & f(z)\geq q. \end{align} $$
在 Mas-Colell、Whinston、Green 的書中，命題 5.C.2 (v) 說
如果集合 $ {z\ge 0 : f(z)\ge q} $ 那麼是凸的 $ z(w,q) $ 是一個凸集。
此外，在同一屬性中，它指出
如果 $ f $ 那麼是準凹的 $ z(w,q) $ 是每個的凸集 $ w>>0 $ .
我如何證明這兩個陳述？我想了解這兩個屬性。非常感謝。
讓 $ z_1 $ 和 $ z_2 $ 是 $ \geq 0 $ 和解決方案
$$ \min_z {w^\top z\lvert f(z)\geq q} $$
然後清楚地 $ f(z_1)\geq q $ 和 $ f(z_2)\geq q $ 並且因為 $ {z\geq 0\lvert f(z)\geq z } $ 是凸的，那麼它遵循 $ z_3 := \lambda z_1 + (1-\lambda)z_2 $ 必須滿足約束 $ f(z_3)\geq q $ .
自從 $ z_1 $ 和 $ z_2 $ 都是最小化器 它不可能是這樣的 $ w^\top z_1 \not = w^\top z_2 $ 而是必須是這樣的 $ w^\top z_1 = w^\top z_2 $ . 這意味著 $ w^\top z_3 = w^\top(\lambda z_1 + (1-\lambda)z_2) = \lambda w^\top z_1 + (1-\lambda) w^\top z_2 = w^\top z_1 $ 因此 $ z_3 $ 是一個最小化器。
自從 $ z_3 $ 是最小化器並滿足它必須在的約束 $ z(w,q) $ 因此它必須是凸集。
如果 $ f $ 是準凹的，則根據定義 $ {z\geq 0 \lvert f(z) \geq q} $ 是凸的，因此使用上述參數意味著 $ z(w,q) $ 是凸的。