證明所有成本函式在投入品價格中是凹的並且投入品的需求是向下的
我已經看到證明成本函式是凹形的
$ C(\lambda w + (1-\lambda)w’,q) \ge \lambda c(w,q) + (1-\lambda)c(w’,q) $
儘管這既不令人信服，也不像是一條證明投入需求正在向下傾斜的道路。
為了在我的問題中更簡潔，它分為兩部分。
首先，證明所有成本函式，無論生產函式如何，都是凹的。
其次，利用第一步，也表明投入需求是向下傾斜的。
讓 $ x(w, q) $ 表示成本最小化問題的解決方案：
$$ \begin{eqnarray*} \min_{x} & \ w\cdot x \ \text{s.t.} & \ \ f(x) \geq q \end{eqnarray*} $$ 在哪裡 $ f $ 是生產函式。自從 $ x(w, q) $ 將成本降至最低 $ (w, q) $ , 以下適用於所有人 $ w $ 並為所有人 $ q $ : $$ \begin{eqnarray*} w\cdot x(w, q) \leq w\cdot x(w’, q) \ \ \ \forall w’ \end{eqnarray*} $$ 我們也知道成本函式是成本最小化輸入選擇的成本：
$$ \begin{eqnarray*} C(w, q) = w\cdot x(w, q) \end{eqnarray*} $$ 首先，我們將展示 $ C $ 是凹進去的 $ w $ . 考慮任意 $ w’ $ , $ w’’ $ 和任意 $ \lambda \in [0, 1] $ .
$$ \begin{eqnarray*} C(\lambda w’ + (1-\lambda) w’’, q) & = & (\lambda w’ + (1-\lambda) w’’)\cdot x(\lambda w’ + (1-\lambda) w’’, q) \ & = & \lambda w’ \cdot x(\lambda w’ + (1-\lambda) w’’, q) + (1-\lambda) w’’\cdot x(\lambda w’ + (1-\lambda) w’’, q) \ & \geq & \lambda w’ \cdot x(w’, q) + (1-\lambda) w’’\cdot x(w’’, q) \ & = & \lambda C(w’ , q) + (1-\lambda) C(w’’, q) \end{eqnarray*} $$ 所以， $ C $ 是凹進去的 $ w $ . 為了證明投入需求是向下傾斜的，考慮任意 $ w’ $ ， 和 $ w’’ $ ,
$$ \begin{eqnarray*} w’\cdot x(w’, q) & \leq & w’\cdot x(w’’, q) \ w’’\cdot x(w’’, q) & \leq & w’’\cdot x(w’, q) \end{eqnarray*} $$ 添加它們我們得到 $$ \begin{eqnarray*} (w’-w’’)\cdot (x(w’, q) - x(w’’, q)) & \leq & 0 \end{eqnarray*} $$ 我們現在考慮一個特殊情況，其中 $ w’ $ 和 $ w’’ $ 不同之處僅在於 $ j $ 輸入的價格。最後， $$ \begin{eqnarray*} (w’-w’’)\cdot (x(w’, q) - x(w’’, q)) = (w_j’-w_j’’) (x_j(w’, q) - x_j(w’’, q)) & \leq & 0 \end{eqnarray*} $$ 因此，需求 $ j $ 輸入與其價格成反比。