證明預算約束是下半連續體（LHC）
我需要證明以下約束是 LHC。
$ B={x \in R^n : px\leqslant pw) $
但我無法找到和排序 $ {x_n} $ 這樣 $ x_n \in B(p_n,w_n) \forall n $ 然後 $ x_n\longrightarrow x $ .
我試過設置 $ x_n=\frac{x}{1+\beta^n} $ , $ p_n=\frac{p}{1+\beta^n} $ , $ w_n=\frac{w}{1+\beta^n} $ 因為在那種情況下 $ x_n\longrightarrow x $ . 和 $ x_n \in B(p_n,w_n) \forall n $ 但我覺得我沒有涵蓋 $ \forall p_n, w_n $ 部分。
請幫助並提前感謝。
我不相信它是低半連續的。
讓 $ w = (0,\dots,0) $ , $ p \in \mathbb{R}^n_+ $ 是任何向量，使得 $ p_1 = 0 $ （第一個座標為 0）。
分配 $ x=(1,0,\dots,0) \in B(p,w) $ .
定義序列 $ p_n = p + (\frac{1}{n},0,\dots,0) $ 和 $ w_n = (\frac{1}{n},0,\dots,0) $ . $ w_n \rightarrow w $ 和 $ p_n \rightarrow p $ .
對於任何 $ x^n \in B(p_n,w_n) $ , $ p_n x^n_1 \leq w_np_n $ ， 所以 $ x_1^n \leq \frac{1}{n} $ .
因此對於任何序列，使得 $ x^n \in B(p_n,w_n) $ , $ x^n \not \rightarrow x $ .
一種方法可能如下。為一個 $ (p_n,w_n) $ 在序列和 $ x \in B(p,w) $ 定義： $$ \alpha_n = 1 \text{ if } p_n x \le w_n $$ 和 $$ \alpha_n = \frac{w_n}{p_n x} \text{ if } p_n x > w_n $$ 然後定義： $$ x_n = \alpha_n x $$ 這裡 $ x_n $ 等於 $ x $ 如果 $ x $ 在預算之內 $ B(p_n,w_n) $ . 如果沒有，那麼 $ x_n $ 是的徑向投影 $ x $ 上預算線。
請注意 $$ p_n x_n = p_n x \le w_n \text{ if } p_n x \le w_n $$ 和 $$ p_n x_n = p_n \frac{w_n}{p_n x} x = w_n \text{ if } p_n x > w_n $$ 這表明 $ x_n \in B(p_n, w_n) $ .
因此，唯一要展示的是 $ x_n \to x $ 或等效地， $ \alpha_n \to 1 $ .
如果 $ p_n \to p \gg 0 $ 和 $ w_n \to w > 0 $ . 那麼對於 $ n $ 足夠大的可以證明 $$ \alpha_n = \min\left{\frac{w_n}{p_n x}, 1\right}. $$ 由於 min 函式是連續的，因此 $$ \lim_n \alpha_n = \lim_n \left(\min \left{\frac{w_n}{p_n x}, 1\right}\right) = \min\left{\frac{w}{p x},1\right} = 1. $$