證明企業利潤隨投入品價格微弱下降
證明企業的利潤隨著投入價格的增長而弱下降。更正式地說，假設公司有一個生產函式 f，所以它的利潤函式是
π(p, w) = max(x≥0) $ pf(x) − w · x $ ,
其中 p 表示輸出價格，w 表示輸入價格向量。然後證明如果 $ w $ 和 $ w’ $ 是兩個輸入價格向量，使得 $ w’_j $ = $ w_j $ 對全部 $ j \neq i $ 和 $ w’_i $ > $ w_i $ ， 然後 $ π(p, w’) ≤ π(p, w) $
我知道隨著投入價格的下降，公司的總成本也會下降。由於 TC 的下降，企業在相同成本的情況下生產更多的產品。然而，由於供給增加，產出價格下降到新的均衡，導致利潤也下降，除非 q 的增加與價格下降成正比，從而防止利潤下降。
但是，我不確定如何使用 $ \pi (p, w) $ . 因為它是 $ w $ 那正在發生變化，我是否會將產出價格固定在 $ p $ ?
然後我會假設 $ x’ $ 利潤最大化在：
$$ pf(x) − w’· x ≤ pf(x’) − w’· x’ $$
和 $ x $ 利潤最大化在：
$$ pf(x) − w · x \geq pf(x’) − w· x’ $$
然後我將第二個方程乘以-1，得到
$$ -pf(x) + w · x \leq -pf(x’) + w· x’ $$
然後我會將其添加到第一個等式中：
$$ (− w’· x) + (w \cdot x) ≤ (− w’· x’) + (w \cdot x’) $$
這簡化為：
$$ (w - w’) (x - x’) \leq 0 $$
由於所有組件 $ w’− w $ 除第 i 個外均為 0
$$ (w_i - w_i’) (x_i - x_i’) \leq 0 $$
我們剩下：
$$ (x_i - x_i’) \leq 0 $$ $$ x_i \leq x_i’ $$
留給我們一個事實，即要素投入要求 $ x’ \geq x $ 因此我們假設對產出的需求更大，導致價格下跌。
但是，我不知道如何證明 $ π(p, w’) ≤ π(p, w) $ 如果 $ w’_j $ = $ w_j $ 對全部 $ j \neq i $ 和 $ w’_i $ > $ w_i $ .
我知道這個想法是基於以下事實 $ w’_j $ = $ w_j $ 和 $ w’_i $ > $ w_i $ , $ w’ > w $ ，這意味著 $ w’ \cdot x $ 在利潤函式中大於 $ w \cdot x $ . 由於成本較高 $ \pi (p, w’) $ , 這意味著 $ π(p, w’) ≤ π(p, w) $ . 但是，我對如何使用給定的利潤函式處理這個命題感到困惑。
從FOC，我們知道：
$$ \begin{align} \nabla_x\pi(\mathbf{x},\mathbf{w})=p\nabla f(\mathbf{x})-\mathbf{w}=\mathbf{0} \tag{1} \end{align} $$
這在平衡時是正確的，即對於任何給定的 $ \mathbf{w} $ , 輸入向量 $ \mathbf{x} $ 將調整以使上述內容成立。
現在考慮 $ d\pi(\mathbf{x},\mathbf{w})/d w_i $ （並使用 $ (1) $ ):
$$ \begin{align} \frac{d\pi(\mathbf{x},\mathbf{w})}{d w_i} &=\nabla_x\pi\cdot\nabla_{w_i} \mathbf{x} , + \nabla_w\pi\cdot\nabla_{w_i} \mathbf{w} \ &=0 +\nabla_w\pi\cdot\nabla_{w_i} \mathbf{w} \tag{*}\ &=\nabla_w(pf(\mathbf{x})-\mathbf{w}\cdot \mathbf{x)} \cdot \nabla_{w_i} \mathbf{w} \ &= \Big(p\nabla_wf(\mathbf{x})-\nabla_w(\mathbf{w}\cdot \mathbf{x)}\Big)\cdot \nabla_{w_i} \mathbf{w} \ &= \Big(p \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial\mathbf{w}}\nabla f(\mathbf{x})-\frac{\partial\mathbf{x}}{\partial\mathbf{w}}\mathbf{w} - \mathbf{x}\Big)\cdot \nabla_{w_i} \mathbf{w}\ &= \mathbf{J}(p\nabla f(\mathbf{x})-\mathbf{w})\cdot \nabla_{w_i} \mathbf{w} -\mathbf{x} \cdot \nabla_{w_i} \mathbf{w} \ &= \mathbf{J} \nabla_x\pi(\mathbf{x},\mathbf{w})\cdot \nabla_{w_i} \mathbf{w}-\mathbf{x} \cdot \nabla_{w_i} \mathbf{w} \tag{**}\ &= -\mathbf{x} \cdot \nabla_{w_i} \mathbf{w} \ &= -x_i \end{align} $$
在哪裡，在步驟 $ (*), (**) $ , FOC 被使用並且 $ \mathbf{J} $ 是雅可比矩陣。
自從， $ x_i \geq0 $ ， 我們有：
$$ \frac{d\pi(\mathbf{x},\mathbf{w})}{d w_i} \leq0 $$