在任意度量空間中證明局部非飽和
我有一個純粹的交換經濟，每個消費都設置 $ X_i $ 是非空的和凸的並且每個偏好關係 $ \succeq_{i} $ 是嚴格凸的。我被要求證明偏好在任何不同於單一“滿足點”的消費束（即嚴格優先於消費集中所有其他消費束的消費束；我已經證明了飽足點， $ x^* $ ， 是獨特的）。
到目前為止，我有：
考慮任意 $ x_{i}\in X_{i} $ . 考慮 $ \hat{x}:=\phi x_i+(1-\phi)x^* $ , $ \phi\in(0,1) $ . 考慮任意 $ \epsilon>0 $ . 現在，選擇 $ \phi $ 使得之間的距離 $ \hat{x} $ 和 $ x_{i} $ 小於 $ \epsilon $ . 那是， $ \phi\in(0,1) $ 這樣 $ \phi x_i+(1-\phi)x^<\epsilon $ . 我明白了 $ \phi<\frac{\epsilon+x_{i}-x^{}}{x_{i}-x^{}} $ . 我們必須有那個 $ \phi\in(0, \min{1, \frac{\epsilon+x_{i}-x^{}}{x_{i}-x^{*}}}) $ . 另外，請注意，通過嚴格凸性， $ \hat{x}\succ x_{i} $ .
超過這一點，我被困住了。任何指導將不勝感激。謝謝你。
首先，您需要一個向量空間才能明確定義凸組合。但是，並非向量空間上的每個度量都有效。實際上，在離散度量下，除非空間由點組成，否則結果將很容易失敗 $ 0 $ 獨自的。有效的是向量空間上的度量，使得加法和標量乘法的向量運算是連續的。實際上，不需要度量並且結果包含任何拓撲向量空間。但是，我懷疑這是提出問題的一般性水平。
無論如何，這是一個論點：讓 $ x $ 在任何一點 $ X_i $ 這不是一個全域飽足點（不一定有一個獨特的飽足點，因為可能根本沒有飽足點）。讓 $ x^* $ 是任何一點，使得 $ x^\succ_i x $ . 讓 $ x_n=(n-1)/n, x+1/n, x^ $ . 通過嚴格凸性， $ x_n\succ_i x $ 為了 $ n\ge 1 $ . 通過向量運算的連續性， $ \lim_{n\to\infty} x_n=x $ . 因此，每個社區或周圍的球 $ x $ 將包含表單的一個點 $ x_n, $ 哪個更好。所以， $ \succeq_i $ 是局部不滿足的。
如果我們假設，我有一個答案 $ X=\mathbb{R}^{2}_{+} $ .
考慮一些 $ x:=(x_1, x_2) \in X $ , 不同於飽食點 ( $ x^{}:=(x_1^{}, x_2^{}) $ ）。考慮一些 $ \epsilon>0 $ . 通過嚴格凸性， $ x’:=\bigg(\phi x_1+(1-\phi)x_1^{}, \phi x_2+(1-\phi)x_2^{}\bigg)\succ (x_1, x_2) $ 對全部 $ \phi\in (0,1). $ 接下來，請注意 $ ||x’-x|| $ 是（誰）給的 $ \sqrt{(x’_1-x_1)^2+(x_2’-x_2)^2}=\sqrt{(\phi x_1+(1-\phi)x_1^{}-x_1)^2+(\phi x_2+(1-\phi)x_2^{}-x_2)^2} $ . 選擇 $ \phi $ 這樣 $ (\phi x_1+(1-\phi)x_1^{}-x_1)\leq \frac{\epsilon}{2} $ 和 $ (\phi x_2+(1-\phi)x_2^{}-x_2)\leq \frac{\epsilon}{2} $ （WLOG，我們假設 $ x_1^>x_1 $ 和 $ x_2^>x_2 $ ， 以便 $ (\phi x_1+(1-\phi)x_1^{}-x_1) $ 和 $ (\phi x_2+(1-\phi)x_2^{}-x_2) $ 是嚴格積極的）。這就要求 $ \phi \leq \frac{\frac{\epsilon}{2}+x_1-x_1^{}}{x_1-x_1^{}} $ 和 $ \phi \leq \frac{\frac{\epsilon}{2}+x_2-x_2^{}}{x_2-x_2^{}} $ , 分別相當於 $ 1-\frac{\epsilon}{2(x_1^-x_1)} $ 和 $ 1-\frac{\epsilon}{2(x_2^*-x_2)} $ . 那麼請注意 $ ||x’-x||\leq \frac{\epsilon}{\sqrt{2}}<\epsilon. $
因此，給定任何 $ x\in X $ 和 $ \epsilon>0 $ ，我們可以找到一些 $ x’ $ ，如上定義，與 $ \phi\in\bigg(0, \min\bigg{1, 1-\frac{\epsilon}{2(x_1^-x_1)},1-\frac{\epsilon}{2(x_2^-x_2)} \bigg}\bigg)— $ 以便 $ x’\in B_\epsilon(x)— $ 並且這樣 $ x’\succ x $ .