微觀經濟學
用 MRS 證明帕累托效率
給定三個具有相同效用函式的人：
$$ u_A(x_1,x_2)=u_B(x_1,x_2)=u_C(x_1,x_2)=\sqrt{x_1x_2} $$
證明以下分配是帕累託有效的：
$$ x_A=(2,2),: x_B=(3,3),: x_C=(1,1) $$
我讀了我的教授對這個問題的回答：分配是帕累託有效的，因為可以證明邊際替代率是相等的。
我只看到這是帕累托效率的必要條件，而不是充分條件。是這樣嗎？如果不是，我如何證明分配是帕累託有效的？
檢查這種分配是否帕累託有效的一種方法是使用第一福利定理。考慮具有效用函式的交換經濟 $$ \begin{eqnarray*} u_i(x_i, y_i) = \sqrt{x_iy_i}\end{eqnarray*} $$ 為了 $ i\in{A,B,C} $ .
假設禀賦 $ \omega $ 是（誰）給的 $$ \begin{eqnarray*} \omega_A = (\omega_A^X, \omega_A^Y) = (2,2) \ \omega_B = (\omega_B^X, \omega_B^Y) = (3,3) \ \omega_C = (\omega_C^X, \omega_C^Y) = (1,1)\end{eqnarray*} $$ 檢查禀賦 $ \omega $ 是上述經濟體的競爭均衡配置 $ \left((u_i, \omega_i)_{i\in{A,B,C}}\right) $ 受價格支撐 $ (p^X, p^Y) = (1,1) $ ，因此，它是帕累託有效的。
檢查上述分配的帕累托效率的另一種方法是證明這種分配也使受可行性約束的三個人的效用之和最大化。