證明恆定的絕對風險厭惡和相對風險厭惡意味著初始財富的獨立性
我能夠證明，對於具有一種無風險資產和一種風險資產的投資組合，如果絕對風險厭惡的 Arrow-Pratt 度量是恆定的（即恆定的絕對風險厭惡，CARA），那麼投資於風險資產不依賴於代理人的財富。同樣，在恆定相對風險厭惡（CRRA）的情況下，代理人投資於風險資產的財富比例也不取決於代理人的財富。
現在，我如何證明 CARA 和 $ N $ 風險資產，投資於每項資產的財富金額 $ N $ 風險資產是否獨立於代理人的初始財富？以及 CRRA 的類似聲明？
我的闡述的基礎來自於 Mas-Colell 在 Ch. 中的例子。6.
您的特定問題的最大化問題可以很容易地概括。考慮一種風險資產和一種無風險資產的情況。讓 $ \beta $ 是投資於安全資產的財富，標準化為每投資 1 美元。讓 $ \alpha $ 是投資於風險資產的財富，它有一些隨機支付 $ z $ 這樣：
$$ \int z \ \text{d}F(z) > 1 $$ 所以平均收益大於無風險資產。因此，我們將最大化問題表示為：
$$ \max \ \int u(\alpha z + \beta) \ \text{d}F(z) \ \text{s.t.} \quad\alpha + \beta = w $$ 您可以利用以下事實 $ w - \alpha = \beta $ $ \implies \alpha z + \beta = w + \alpha(z - 1) $ 並找到一階條件。如果 $ u $ 是凹的（風險規避），然後是 Kuhn-Tucker FOC，它們結合起來：
$$ \int u’(w + \alpha(z - 1))\cdot(z - 1) \ \text{d}F(z) = 0 \quad \text{iff} \quad \alpha \in (0, w) $$ 因此，對於一般情況，您可以使用 $ N $ 風險資產和一種優於其他任何無風險資產的無風險資產。讓我們再次將其標準化為支付 1。
所以現在的最大化是：
$$ \max \int u(\alpha_1 z_1 + \cdots + \alpha_N z_N + \beta) \ \text{d}F(z_1, \cdots z_N) \ \text{s.t.} \quad \alpha_1 + \dots + \alpha_N + \beta = w $$
筆記：
如果您已經完成了簡單的案例，那麼這個一般案例應該不會那麼糟糕，只是多做一些工作。對於其他讀者，我將在下面分別說明恆定絕對風險厭惡和相對風險厭惡的定義。
$$ r_A(x) = -\frac{u’’(x)}{u’(x)} = n \quad \forall x $$ $$ r_R(x) = -\frac{x \cdot u’’(x)}{u’(x)} = n \quad \forall x $$