公共物品 - 自願提供
我目前正在閱讀 Cowell (2006) 的《微觀經濟學：原理與分析》一書，第 452-453 頁。e 有一個兩種商品的世界，其中有 $ {n_h} $ 代理人（家庭）：商品 1 是純粹的公共物品，商品 2 是純粹的私人物品。
每個代理人都有一個外生給定的收入 $ {y^h} $ , 以私人物品的單位計價 2. 我們設想公共物品是自願資助的，每個家庭都做出貢獻 $ {z^h} $ 離開
$$ x_2^h = {y^h} - {z^h} $$可供他自己消費的私人物品的數量和 $$ {x_1} = \phi (\bar z + {y^h} - x_2^h) $$ 其中 z 是生產過程中使用的商品 2 的總投入。每個代理人都意識到公共物品的總產出取決於他或她自己的貢獻和其他人的貢獻
表達式 (13.30)
表達式 (13.31)
他是否通過應用鍊式法則得出表達式（13.33）
$$ \eqalign{ & z = U({x_1},x_2^h) \cr & {x_1} = g({x_2}) \cr & {{dz} \over {d{x_2}}} = {{\partial f} \over {\partial {x_1}}}{{d{x_1}} \over {d{x_2}}} + {{\partial f} \over {\partial {x_2}}}{{d{x_2}} \over {d{x_2}}} = {{\partial f} \over {\partial {x_1}}}{{d{x_1}} \over {d{x_2}}} + {{\partial f} \over {\partial {x_2}}} \cr} $$ 自從 $ {x_1} $ 是一個函式 $ x_2^h $ ?
給定
$$ \max_{x_2^h} \quad U^h(\phi(\bar z + y^h - x_2^h), x_2^h) $$ 您必須通過對第一個參數採用兩次鍊式規則來找到 FOC。表示函式的參數 $ \phi $ 作為 $ (\cdot) $ .
$$ \frac{\partial U^h}{\partial x_2^h} = \frac{\partial U^h}{\partial \phi} \cdot \frac{\partial \phi}{\partial x_2^h} $$ $$ \frac{\partial \phi}{\partial x_2^h} = \frac{\partial \phi}{\partial (\cdot)} \cdot \frac{\partial (\cdot)}{\partial x_2^h} $$ $$ \implies \frac{\partial U^h}{\partial x_2^h} = \frac{\partial U^h}{\partial \phi} \cdot \frac{\partial \phi}{\partial (\cdot)} \cdot \frac{\partial (\cdot)}{\partial x_2^h} $$ 因此，讓 $ U^h_{1,2} $ 表示關於第一個和第二個參數的偏導數 $ U^h $ 分別：
$$ \begin{align} \frac{\partial U^h}{\partial x_2^h} & = U_1^h(\phi(\bar z + y^h - x_2^h), x_2^h) \cdot \phi_z(\bar z + y^h - x_2^h) \cdot -1 \ & + U_2^h(\phi(\bar z + y^h - x_2^h), x_2^h) \cdot 1 \end{align} $$ 中的第二個論點 $ U $ 沒有 $ \phi $ ，所以應該只應用鍊式法則。
你不能只應用這個嗎
顯然不同的價值觀，但相同的原則？
