純交換經濟
我需要幫助繪製埃奇沃思經濟的帕累托集。我知道如何找到給定分配的合約曲線，我認為這最終會成為競爭均衡，但繪製帕累托線比預期的要困難得多。
我們有 2 個商品和 2 個代理，帶有日誌實用程序 $ (\alpha_i > 0) $ :
$$ u_i(x_i) = \alpha_i \ln x^1_i + \ln x^2_i $$ 我們得到相切條件：
$$ \alpha_1 \frac{x_1^2}{x_1^1} = \alpha_2 \frac{x_2^2}{x_2^1} $$ 並結合資源限制：
$$ x_1^1 + x_2^1 = r^1 $$ $$ x_1^2 + x_2^2 = r^2 $$ 很多代數：
$$ \alpha_1 \frac{x_1^2}{x_1^1} = \alpha_2 \frac{r^2 - x^2_1}{r^1 - x^1_1} $$ $$ \implies \alpha_1 (x^2_1 r^1 - x^2_1 x^1_1) = \alpha_2 (x^1_1 r^2 - x^1_1 x^2_1) $$ $$ \implies \alpha_1 x^2_1 r^1 - \alpha_2 x^1_1 r^2 = (\alpha_1 - \alpha_2) x^1_1 x^2_1 $$ $$ (\alpha_1 \cdot \frac{1}{x^1_1} \cdot r^1) - (\alpha_2 \cdot \frac{1}{x^2_1} \cdot r^2) = \alpha_1 - \alpha_2 $$ 這讓我們：
$$ \boxed{x_1^1 = \frac{\alpha_1 r^1 x_1^2}{\alpha_1 x_1^2 - \alpha_2 x_1^2 + \alpha_2 r^2}} $$ 對於我們的帕累托集。（你也可以解決 $ x_1^1 $ .)
正如 denesp 所指出的，如果 $ \alpha_1 = \alpha_2 - r^1 = r^2 $ ， 然後 $ x_1^1 = x_1^2 $ .
問題是，我將如何為不同的值繪製這個 $ \alpha $ ? 斜率背後的直覺是什麼？
正如您在問題中指出的那樣，帕累托集的（內部點）定義為
$$ x_1^1 = \frac{\alpha_1 r^1 x_1^2}{\alpha_1 x_1^2 - \alpha_2 x_1^2 + \alpha_2 r^2} $$ 為了更好地檢查這條曲線，讓我們把它當作一個函式。讓 $$ f(x) = \frac{\alpha_1 r^1 x}{\alpha_1 x - \alpha_2 x + \alpha_2 r^2}. $$ 正如我在評論中所說 $$ f(0) = 0 \mbox{ and } f(r^2) = r^1, $$ 所以這組確實從一個角落到另一個角落。在這兩者之間你有 $$ \frac{d \ f(x)}{d x} = \frac{\alpha_1\alpha_2r^1r^2}{\left(\alpha_1 x - \alpha_2 x + \alpha_2 r^2\right)^2} $$ 和 $$ \frac{d^2 f(x)}{dx^2} = 2 \cdot \frac{(\alpha_1\alpha_2r^1r^2) \cdot (\alpha_2-\alpha_1)}{\left(\alpha_1 x - \alpha_2 x + \alpha_2 r^2\right)^3}. $$ 一階導數總是正的，因為 $ r^2 > x $ 並且所有其他參數都是正數。同理，二階導數的符號取決於 $ \alpha_2-\alpha_1 $ .
因此，帕累托集將是一條嚴格遞增的曲線，如果代理 2 對好 1 的評價“相對更多”，則該曲線是凸的，如果代理 1 對好 1 的評價“相對更多”，則該曲線是凹的，如果他們對它的評價“相對平等”，則為一條直線。