純交換經濟：給定初始禀賦，多重均衡可能嗎？
考慮一個有兩種商品的純交換經濟（ $ x_1,x_2 $ ) 和兩個消費者 $ A,B $ . 兩個使用者都有初始禀賦， $ (\omega_1^A,\omega_2^A) $ 和 $ (\omega_1^B,\omega_2^B) $ 分別。價格比 $ p^* $ 是一個均衡價格比率，如果在兩個使用者在給定預算的情況下最大化他們的效用之後，即 $ \forall i\in \left{A,B\right} $ 他們解決了問題
$$ \begin{align*} \max_{x_1^i,x_2^i} \ & U(x_1^i,x_2^i) \ \ \mbox{s.t. } & p \omega_1^i + \omega_2^i = p x_1^i + x_2^i, \end{align*} $$ 最大化捆綁 $ (x_1^A,x_2^A),(x_1^B,x_2^B) $ 是這樣的，市場處於均衡狀態，這意味著 $$ \begin{align*} x_1^A + x_1^B & = \omega_1^A + \omega_1^B \ \ x_2^A + x_2^B & = \omega_2^A + \omega_2^B. \end{align*} $$ 假設 $ U $ 滿足凸性、單調性（或局部非飽和性，隨心所欲）和連續性的通常條件。給定一個初始禀賦，是否可能有兩種不同的均衡價格比率？理想的答案會給出一個簡單的例子，但非建設性的證明也可以。我對兩個均衡都是 Edgeworth-box 的內點的例子特別感興趣。
問題的圖形表示：
綠色是帕累托最優點的集合，紅色和藍色是無差異曲線，細線是預算線。
是的。Sonnenschein-Mantel-Debreu 定理的Debreu 版本保證，如果消費者與商品一樣多，則過度需求必須滿足很少的限制。
多重均衡的一個明確的例子 $ 2\times 2 $ - 交換經濟可以在
Shapley、LS 和 M. Shubik。“具有三個競爭均衡的貿易經濟範例。” 政治經濟學雜誌，第一卷。85，沒有。4，1977，第 873-875 頁。
在這個例子中，兩個消費者甚至有準線性的偏好，在不同的商品中它們（必然是非唯一性的）是線性的。