利潤函式的擬凹性
我正在根據我的教科書做一個簡單的練習：假設收入函式是 $ R(p)=p^{1-\epsilon} $ 和 $ \epsilon > 0 $ . 假設成本函式是凸的。證明利潤函式是準凹的，如果 $ \epsilon > 1 $ .
我的嘗試：讓需求函式成為 $ q(p)=p^{-\epsilon} $ 和一些成本函式 $ c(q(p)) $ .
一階條件是 $ (1-\epsilon)p^{-\epsilon}-c’(q(p))q’(p) $ 和二階條件 $ -\epsilon(1-\epsilon)p^{-\epsilon-1}-c’’(q(p))q’(p)^2-c’(q(p))q’’(p) $ .
第二學期 $ -c’’(q(p))q’(p)^2 $ 和第三項 $ -c’(q(p))q’’(p) $ 在成本函式的凸性下為負。因此，如果第一項為負，則二階條件明確為負。但這發生在 $ \epsilon<1 $ ，與推測相反。
你的嘗試幾乎是正確的。
令需求函式為 $ D(p) = p^{-\epsilon} $ 和一些成本函式 $ C(D(p)) $ 以便 $ R(p) = D(p)p = p^{1-\epsilon} $ ， 對？
然後，我將重寫您的一階和二階條件 - 因為您只提供了表達式，但以方程（或不等式）的形式編寫它們會很棒。以便：
一階條件： $ R’(p) - C’(D(p))D’(p) =0 $
第二個命令： $ R’’(p) - C’’\left(D(p)\right)\cdot D’(p)^2 - C’(D(p))D’’(p) < 0 $
這是我們分道揚鑣的時刻。我也同意二階條件中的第二項是否定的。然而，這並不一定 $ R’’(p) $ 那是負面的——而是整個關係$$ R’’(p) - C’(D(p))D’’(p)<0 ;() $$現在，我們希望二階條件對每個 $ p $ 滿足一階條件。因此，我將替換 $ C’(D(p)) $ 從第一個條件到 $ () $ 因此，我最終得到：$$ R’’(p) - \frac{R’(p)D’’(p)}{D’(p)} <0 ;(**) $$
現在是使用蠻力的時候了。計算所有導數 $ (**) $ .
$$ -\epsilon(1-\epsilon)p^{-1-\epsilon} - \frac{(1-\epsilon)p^{-\epsilon} \cdot -\epsilon(-1-\epsilon)p^{-2-\epsilon}}{-\epsilon p^{-1-\epsilon}} <0 \implies \epsilon > 1 $$對彼此而言， $ p $ 和 $ \epsilon $ 積極的。
PS如果你考慮一下，讓 $ \epsilon<1 $ 會暗示 $ R’(p)>0 $ 因此，一階條件沒有解。為什麼？
PPS 我相信在工業組織中也有類似的練習： Belleflamme 和 Peitz 在他們關於“壟斷定價策略”的章節中的市場和策略，但有相反的要求 $ P(q) $ .