效用函式的擬凹性

我正在尋找一種方法來證明以下函式是準凹的 $ \alpha $ （或找到它為真的條件）：

$ \pi=F(-k)(f(0)^2-f(h(1-\alpha))^2)+ \frac{1}{2}-\frac{1}{2}f(0)^2-\frac{1}{2}f(-k^2)(2F(h(1-\alpha))-1)^2 $ ,

在哪裡：

$ F $ - 是正態分佈的 CDF 函式， $ N[0,\sigma^2] $ ;

$ f $ - 是正態分佈的 PDF 函式， $ N[0,\sigma^2] $ ;

$ k $ - 外生參數，k $ \in [0,+∞) $ ;

$ h $ - 外源參數，h $ \in [0,+∞) $ .

任何幫助，將不勝感激。

UPD

我忘了提到我正在嘗試證明區間上的準凹度 $ \alpha \in [0,1] $

一段時間後，我沒有找到條件或證明該函式是準凹的 $ \alpha \in [0,1] $ .

然而，最終目標是證明方程有一個中間解。確實有可能以二階導數為條件 $ \alpha $ 和 $ h $ 其中： - 函式等於零並增加 $ 0 $

• 函式等於 0 並在 $ 1 $ .

這些條件允許在某處至少存在一個轉折點 $ [0,1] $

如果有人感興趣，我可以提供更多細節。

你的猜想似乎是矛盾的，至少對於小值 $ \sigma $ . 您可以使用以下 R 程式碼繪製函式：

qq_f = function(x,k,h,sig){   
-pnorm(-k, sd=sig)*( (dnorm(h*(1-x), sd=sig))^2 ) - 0.5*dnorm(-k^2, sd=sig)*( 2*pnorm(h*(1-x), sd=sig) -1 )^2  
}  
curve(qq_f(x,k=0,h=1,sig=0.5),col='blue',xlim=c(-1,3),type='l',main="A candidate quasi-concave function")

引用自：https://economics.stackexchange.com/questions/32907