準固定成本——兩種技術
如果一家公司可以選擇使用兩種生產技術來生產相同的產品：
A，具有 50 的準固定成本（即所有 q > 0 為 50，當 q = 0 時為 0），然後是 5q 的可變成本
B，它沒有固定成本，但有 q^2 的可變成本（所以 MC = 2q）
那麼公司的最優策略是繼續使用B直到使用 B 的邊際成本等於50，然後才考慮使用A嗎？
我們需要解決以下問題：
$$ \min_{q_A, q_B}\left{50 \times I_{q_A > 0} + 5 q_A + q_B^2\right} \text{ s.t. } q_A + q_B = q \text{ and } q_A, q_B \ge 0 $$ 我們根據是否分開 $ q_A = 0 $ 或者 $ q_A > 0 $ .
- 如果 $ q_A = 0 $ 然後 $ q_B = q $ 我們的總成本為 $ q^2 $ .
- 如果 $ q_A > 0 $ 然後我們會選擇 $ q_A $ 和 $ q_B $ 這樣（設置 KT 條件）：
$$ \begin{align*} &5 - \lambda = 0\ &2 q_B - \lambda - \mu = 0\ &\mu q_B = 0\ &q_A + q_B = q \end{align*} $$ 在哪裡 $ \lambda $ 和 $ \mu $ 是約束的拉格朗日乘數 $ q_A + q_B = q $ 和 $ q_B \ge 0 $ . （限制 $ q_A > 0 $ 應該通過假設成立）。我們得到：
- 如果 $ q_B = 0 $ 然後 $ q_A = q $ 我們的總成本為 $ 50 + 5 q $ .
- 如果 $ q_B > 0 $ 然後 $ \mu = 0 $ 我們得到了解決方案 $ q_B = \frac{5}{2} $ 和 $ q_A = q - \frac{5}{2} $ . 請注意，這只能是解決方案 $ q > \frac{5}{2} $ （作為 $ q_A > 0 $ ）。在這種情況下，總成本為 $ 50 + 5(q - \frac{5}{2}) + \frac{25}{4} = 5 q + 50 - \frac{25}{4} $
所以我們最終得到了 3 個候選解決方案：
- $ q_A = 0, q_B = q $ 總成本是 $ q^2 $ .
- $ q_A = q, q_B = 0 $ 總成本是 $ 5q + 50 $
- 如果 $ q > \frac{5}{2} $ 我們有一個潛在的解決方案 $ q_A = q - \frac{5}{2}, q_B = \frac{5}{2} $ 總成本是 $ 5 q + 50 - \frac{25}{4} $ .
看看哪個最適合哪個級別 $ q $ ，請注意，第一個解決方案的成本高於第二個解決方案，如果： $$ \begin{align*} &q^2 - 5q - 50 \ge 0,\ \leftrightarrow &q \ge 10 \end{align*} $$ 接下來，請注意第三種解決方案的成本始終低於第二種選擇（如果 $ q > \frac{5}{2} $ ）。並且第二個選項只有在 $ q \ge 10 $ . 所以第二個選項永遠不會是最優的，因為 $ q \ge 10 $ 暗示 $ q > \frac{5}{2} $ .
我們將在第一個和第三個選項之間做出決定。如果出現以下情況，第一種選擇的成本將高於第三種選擇： $$ \begin{align*} &q^2 - 5q - (50 - \frac{25}{4}) \ge 0,\ \leftrightarrow &q \ge \frac{5}{2}(1 + 2 \sqrt{2}). \end{align*} $$ 所以我們有：
- 如果 $ q \le \frac{5}{2}(1 + 2 \sqrt{2}) $ 然後 $ q_A = 0 $ 和 $ q_B = q $ .
- 如果 $ q > \frac{5}{2}(1 + 2 \sqrt{2}) $ 然後 $ q_A = \frac{5}{2} $ 和 $ q_B = q - \frac{5}{2} $ .