關於預算約束和效用最大化的問題
我也有以下預算集
$$ B={x=(x_1,x_2)\in R^2_+ \mid 2\sqrt{x_1}+x_2\le y} $$ 其中 y 是收入。
假設有兩個故事。代理可以在這兩個地方購物。如上所述，第一家商店對 good1 有數量折扣。以及商品 2 的固定單價。 $ p_2=1 $ . 其他店鋪收取固定單價， $ p_1=2 $ 和 $ p_2=1/2 $ 分別。假設收入 y 是 6。如何寫出效用最大化的可行預算約束 $ U(x_1, x_2)=x_1x_2 $ . 既然有兩個商店，我怎麼能寫拉格朗日函式來計算優化問題。
我知道我必須寫我的試驗。但是我不能正確地寫出任何預算約束和拉格朗日，因此我不能發布我的解決方案。
任何幫助表示讚賞。謝謝你。
編輯
讓 $ x_{ij} $ 表示好的數量 $ i $ 消費者從商店購買的 $ j $ . 因此，消費者的效用最大化問題描述如下：
$$ \begin{eqnarray*} \max_{x_{11}, x_{12}, x_{21}, x_{22}} & (x_{11}+x_{12})(x_{21}+x_{22}) \ \text{s.t.} & \ \ 2\sqrt{x_{11}} + x_{21} + 2x_{12} + \frac{1}{2} x_{22} \leq 6 \ & x_{11} \geq 0, x_{12} \geq 0, x_{21} \geq 0, x_{22} \geq 0 \end{eqnarray*} $$ 鑑於商品 2 在商店 2 中更便宜，我們知道該問題的解決方案將滿足 $ x_{21} = 0 $ . 因此，從目標中可以清楚地看出，消費者總是會選擇 $ x_{22} > 0 $ . 此外，消費者的效用是一個遞增函式，因此消費者將把他所有的收入都花在最優狀態。考慮到它們，我們可以將消費者的效用最大化問題重寫為： $$ \begin{eqnarray*} \max_{x_{11}, x_{12}, x_{22}} & (x_{11}+x_{12})x_{22} \ \text{s.t.} & \ \ 2\sqrt{x_{11}} + 2x_{12} + \frac{1}{2} x_{22} = 6 \ & x_{11} \geq 0, x_{12} \geq 0, x_{22} > 0\end{eqnarray*} $$ 現在我們設置拉格朗日： $$ \begin{eqnarray*} \mathcal{L}(x_{11}, x_{12}, x_{22}) = (x_{11}+x_{12})x_{22} - \lambda (2\sqrt{x_{11}} + 2x_{12} + \frac{1}{2} x_{22} - 6) + \mu_1 x_{11} + \mu_2 x_{12} \end{eqnarray*} $$ 相應的庫恩-塔克條件為： $$ \begin{eqnarray*} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{11}} & = & x_{22} - \frac{\lambda}{\sqrt{x_{11}}} + \mu_1 = 0 \ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{12}} & = & x_{22} - 2\lambda + \mu_2 = 0 \ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{22}} & = & x_{11} + x_{12} - \frac{\lambda}{2} = 0 \ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} & = & 6 - 2\sqrt{x_{11}} - 2x_{12} - \frac{1}{2} x_{22} = 0, \ \lambda \geq 0 \ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mu_1} & = & x_{11} \geq 0, \ \mu_1 \geq 0, \ \mu_1x_{11} = 0 \ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mu_2} & = & x_{12} \geq 0, \ \mu_2 \geq 0, \ \mu_2x_{12} = 0\end{eqnarray*} $$ 上述條件的解決方案之一解決了優化問題。這是解決方案： $ x_{11}^* = 4, x_{12}^* = 0, x_{22}^* = 4, \lambda^* = 8, \mu_1^* = 0,\mu_2^* = 12 $ .
因此，消費者將從第一家商店購買 4 件商品 1 和 0 件商品 2；0 件商品 1 和 4 件商品 2 來自另一家商店。