關於期望效用理論中的埃爾斯伯格悖論的問題
馮諾依曼-摩根斯坦定理指出，假設一個人在風險下的偏好滿足一定的理性公理，那麼存在一個效用函式 u，即馮諾依曼效用函式，這樣這個人就會傾向於最大化 u 的期望值。因此，人們滿足馮·諾依曼-摩根斯坦理性公理的假設被稱為期望效用理論。現在，預期效用理論面臨的主要挑戰之一是埃爾斯伯格悖論。它如下。
假設你有一個總共有 90 個球的甕，其中 30 個是紅色的，其他 60 個球都是黑色或黃色的。假設從甕中隨機抽取一個球。那麼你更願意開彩票 A，如果抽到紅球，你會得到 100 美元，還是喜歡開彩票 B，如果開出黑球，你會得到 100 美元？大多數人更喜歡彩票 A。你更喜歡彩票 C，如果你畫一個紅色或黃色的球，你會得到 100 美元，還是彩票 D，如果你畫一個黑色或黃色的球，你會得到 100 美元？大多數人更喜歡彩票 D。但問題是，既喜歡彩票 A 而不是彩票 B，更喜歡彩票 D 而不是彩票 C 與預期效用理論不一致。請參閱此 Wikipedia 文章以獲取證明。
我想更好地理解這個邏輯。考慮一個只有 60 個球的新骨灰盒，每個球要麼是黑色的，要麼是黃色的。那麼你是喜歡彩票 A’，你可以保證 30 美元，還是彩票 B’，你可以從骨灰盒中的每個黑球獲得一美元？我想大多數人會更喜歡彩票A’。你寧願有彩票 C’，你可以得到 30 美元，再加上每一個在骨灰盒裡的黃球 1 美元，還是彩票 D’，你得到 60 美元的保證？我想大多數人會更喜歡彩票 D’。
所以我的問題是，偏好 A’ 優於 B’ 和 D’ 優於 C’ 是否違反預期效用理論？我認為這與預期效用理論一致。假設我是對的，你不能在我的例子中將貨幣從“美元”更改為“彩票”嗎？彩票讓你有 1/90 的機會獲得 100 美元？這會將我的例子轉化為埃爾斯堡悖論中的例子。那麼我推理的缺陷在哪裡？
簡短的回答似乎是肯定的，你的例子違反了預期的效用……在我看來，這主要是對你給出的第一個例子的簡單轉換（但你擺脫了紅球）。
正如其他答案中提到的那樣，預期實用程序不具備處理不確定性的能力，因為它處理期望值，並且當您不知道機率時，無法計算期望值。出於這個原因，我認為指定風險和不確定性之間的區別與我的回答相關。
- 風險：這涉及面對一組關於結果的機率，其中代理人知道/理解他所面臨的可能結果
- 不確定性：這涉及在可能的結果中面臨一組未知機率的代理
在我的答案的先前版本中，我對如何思考和解釋這些想法並不小心，從那時起我已經在腦海中澄清了一些想法，希望能轉化為一個明確的答案。現在回答你的問題：
我們有一個裝有 60 個球的甕。我們不確定這個甕中黑球和黃球的數量。想像一下，我們將帶有上述指定彩票的這個骨灰盒呈現給個人（具有單調效用函式 $ u $ ) 並要求他們在 $ L_{A’} $ 和 $ L_{B’} $ . 不失一般性，想像他們選擇採取 $ L_{A’} $ .
這通過顯示的偏好告訴我們 $ L_{A’} \succ L_{B’} $ 這意味著
$$ u(30) > u(B) $$ 在哪裡 $ B $ 是被認為在骨灰盒中的黑球的數量（這裡沒有機率，這是決策者得出的某個數字，此時我們不知道如何計算）。這意味著
$$ B < 30 $$ 現在想像一下，您讓代理選擇 $ L_{C’} $ 和 $ L_{D’} $ 而代理人選擇面對彩票 $ D’ $ . 然後
$$ u(60) > u(30 + (60-B)) $$ 在哪裡 $ (60-B) $ 是代理必須認為在甕中的黃球數量。這意味著
$$ 60 > 30 + (60-B) \Rightarrow B > 30 $$ 這意味著代理人不能偏愛 $ L_{A’} $ 到 $ L_{B’} $ 並且更喜歡 $ L_{C’} $ 到 $ L_{D’} $ 因為那意味著 $ B > 30 $ 和 $ B < 30 $ . 很難說在哪裡 $ B $ 來自，因為當我們習慣於以期望值術語工作時，這是一個難以思考的概念，該代理無法計算對他認為的值集的任何類型的期望 $ B $ 在於。作為一個例子，讓我使用最大最小方法。
想像一下，當他看到骨灰盒和彩票時，他被告知黑球的數量是 15 或 45，但代理不知道它是 15 的機率是多少，它是 45 的機率是多少。
- 彩票 $ A’ $ 會給他 $ u(30) $ 公用事業單位肯定
- 彩票 $ B’ $ 會給他 $ u(15) $ 公用事業單位或 $ u(45) $ 公用事業單位。
- 彩票 $ C’ $ 會給他 $ u(75) $ 公用事業單位或 $ u(45) $ 公用事業單位。
- 彩票 $ D’ $ 會給他 $ u(60) $
代理人擔心不確定性（對 max-min 的一種解釋是，他認為這是一個魔罐，盡最大努力支付盡可能少的金額，因此如果有選擇，它會選擇讓他的情況更糟的值）。然後在比較時在他的決策過程中使用它 $ L_{A’} $ 和 $ L_{B’} $ 他認為這些彩票將支付以下金額
- $ L_{A’} $ 將會支付 $ u(30) $
- $ L_{B’} $ 將會支付 $ \min(u(15), u(45)) = u(15) $
因此他選擇了彩票 $ A’ $ . 現在考慮 $ L_{C’} $ 和 $ L_{D’} $ . 他認為這些彩票會付錢
- $ L_{C’} $ 將會支付 $ \min(u(45), u(75)) = u(45) $
- $ L_{D’} $ 將會支付 $ u(60) $
因此他會選擇彩票 $ D’ $ . 這是如何在此類問題中處理不確定性的一個範例，但絕不是唯一的範例。
注意：早些時候，我認為我的答案中有一段談到了先驗的價值 $ B $ ，但這並沒有仔細考慮。您可以有多個您可能想像的值 $ B $ 需要，但是一旦您將機率分佈分配給這些值中的任何一個，那麼您就離開了不確定性領域並轉移到了風險領域。
“……期望值理論的主要挑戰之一是埃爾斯伯格悖論。”
嗯，但是以什麼方式？Elsberg 悖論與其他圍繞期望效用理論的相關悖論不同（如 Allais 或 Machina 的）。在 Elsberg 悖論中，期望效用理論局限在其中的框架中缺少一些東西：存在未知的機率，或者說“騎士不確定性” ——而期望效用理論並不是為了在這樣的環境中執行而建構的。
但是，預期效用理論並沒有被埃爾斯伯格悖論駁倒。這個悖論的作用是讓我們注意到現實世界中存在預期效用不適用的情況。即它不可能是一個普遍的理論。但這並不奇怪：社會科學中的什麼理論在空間和時間上普遍適用？
埃爾斯伯格悖論的價值在於它迫使我們修改期望效用理論，或者提出一些補充理論來處理存在“騎士不確定性”的情況，決策者既不知道實際機率，也不形成主觀機率——但他們以我們尚未完全理解如何建模的方式做出決定（儘管“歧義厭惡”，這是使埃爾斯伯格悖論合理化的主要方式，現在已在很大程度上正式化）。
至於您在答案的第二部分中創建的決策框架，我注意到**“埃爾斯伯格悖論”**是一種觀察到的經驗現象。你創建了另一個框架，你只是說“我認為人們會更喜歡這個或那個”——而你既沒有實際的觀察來支持這一點，也沒有理論和/或數學論據來解釋為什麼你認為“人們會更喜歡”什麼你認為他們會更喜歡。因此，如果您創建的框架等同於表徵“埃爾斯伯格悖論”的框架（並且您應該寫下數學來證明這一點），那麼恐怕記錄的經驗會反駁您對您創建的框架中“人們更喜歡什麼”的印象.