關於寡頭壟斷的問題。
考慮兩個相同的公司之間的寡頭壟斷，它們生產具有恆定邊際成本的同質商品，其中公司面臨線性市場需求。 $ B_i(q_j) $ 表示公司 i 在 i,j=1,2 和公司 j 的輸出下的最佳響應 $ i\not= j $ . 讓 $ q_c $ 表示企業同時選擇產出的古諾均衡產出選擇。現在假設一個 Stackelberg 設置，其中公司 2 在做出自己的輸出選擇之前觀察公司 1 的選擇。
考慮 Stackelberg 設置中的以下一對策略：公司 1 選擇 $ q_c $ . 公司 2 選擇 $ q_c $ 如果公司 1 選擇 $ q_c $ 否則公司 2 選擇 $ q^*_2 >>q_c $ .
(A) 表明上述策略對是否構成博弈中的納什均衡。
(B) 表明上述策略對是否構成博弈中的子博弈完美均衡。
我所做的是
洩漏逆需求函式 $ p=a-bq $ 和 $ q=q_1+q_2 $
由於邊際成本是常數 c，那麼成本函式是 $ cq_i $
首先，我發現古諾均衡輸出 $ q_c $
我通過利潤最大化問題獲得
$$ q_c=\frac{a-c}{3b} $$ 對於兩家公司。
其次，由於公司 2 也有選擇 $ q_2^* >> q_c $
那麼我們假設 $ q_2^* = \frac{a-c}{2b}>>\frac{a-c}{3b}=q_c $
然後為了得到Stackelberg設置，通過反向歸納法
讓我們計算一下 $ q^_1 $ 當公司 2 選擇時，這是公司 1 的數量 $ q_2^=\frac{a-c}{2b} $ .
$$ \pi_1=(a-bq_1-b(\frac{a-c}{2b}))q_1-cq_1 $$ 通過 FOC，
$$ q_1^*=\frac{a-c}{4b} $$ 和
$$ q^*_1<< q_c $$ 第三，我計算了四個案例的利潤
案例 1：公司 1 的數量和公司 2 的數量都是 $ q_c $
那麼兩家公司的利潤相等且等於 $ \frac{(a-c)^2}{9b} $
案例 2：firm1 的數量為 $ q_1^* $ 公司 2 的數量是 $ q_c $
然後，
公司 1 的利潤 = $ \frac{5(a-c)^2}{48b} $
公司 2 的利潤 = $ \frac{5(a-c)^2}{36b} $
案例 3：firm1 的數量為 $ q_c $ 公司 2 的數量是 $ q_2^* $
然後，
公司 1 的利潤 = $ \frac{(a-c)^2}{18b} $
公司 2 的利潤 = $ \frac{5(a-c)^2}{12b} $
案例 4：firm1 的數量為 $ q_1^* $ 公司 2 的數量是 $ q_2^* $
然後，
公司 1 的利潤 = $ \frac{(a-c)^2}{16b} $
公司 2 的利潤 = $ \frac{(a-c)^2}{8b} $
現在讓我們看一下（A）部分
我構造下表
可見，只有 $ (q_c, q_c) $ 是納什均衡。但 $ (q_1^, q_2^) $ 不是納什均衡。
接下來我們看（B）部分
我在這種情況下構造樹。
當我們看表時，
首先，對於公司 2，
在左側，由於收益 $ q_c $ 大於回報 $ q_2^* $ , 廠商 2 會選擇 $ q-c $ .
在右手邊，由於收益 $ q_2^* $ 是更大的回報 $ q_c $ 對於公司 2，那麼公司 2 將選擇 $ q^*_2 $ .
現在，對於公司 1，如果公司 1 選擇 $ q_c $ 然後它知道它的回報將是 $ (a-c)^2/9b $ . 但如果公司 1 選擇 $ q^*_1 $ 它的回報將是 $ (a-c)^2/16b $ . 所以公司 1 將決定選擇 $ q_c $ .
那就是 SPNE 是 $ (q_c,q_cq_c) $ .
那是， $ (q_1^,q_2^) $ 不是SPNE。
我以這種方式解決了這個問題。但我完全不確定我的方式。請與我分享你的想法。如果對我的解決方案說點什麼，我會很高興。謝謝你。
你已經正確地解決了古諾部分，但是你已經完全偏離了道路，將經濟學誤認為數學。這通常會發生。
首先，你不應該假設任何價值 $ q^*_2 $ 除非你想通過反例來表明一些矛盾。而且，即使它在某種程度上是正確的，你也使用了最不合理的難以解決的價值 $ \frac{a-c}{2b} $ 這一點都不方便。
其次，沒有要求您解決 SPNE，只是要求您說明該特定策略是否為 SPNE。
最後，當您為問題 (a) 給出了兩個答案時，您將策略配置文件與操作配置文件混合在一起。你說是和否，而它只有一種策略。事實上，數 $ q_2 $ 不是策略，是行動。功能 $ q_2(q_1) $ 是一種策略。
以下是解決此類問題的方法：
- 解決古諾並獲得 $ q_c = q^_1 = q^_2 = \frac{a-c}{3b} $ .
現在，您應該在分析解決之前從經濟角度了解該策略。當公司 1 具有先發優勢時，它可以（並且將）通過生產更多產品而不為公司 2 留下空間，後者在公司 1 之後進入市場。因此，公司 2 有兩種選擇：
(a) 不調整不賣零利潤
或者
(b) 試圖威脅廠商 1 不要控制所有市場並可能獲得一些正利潤。
顯然，它選擇（b）。策略（在問題中）所說的基本上如下：如果你偏離古諾均衡，我會生產更多，使產量如此之高，以至於價格將降至零，我們都不會獲利. 現在，我們需要看看這種威脅是否可信。
在我們繼續之前，請記住以下捷徑：不可信的威脅通常是納什均衡，而絕不是完美子博弈均衡。
2.a. 證明生產少於 Cournot 比生產完全 Cournot 更糟糕：
記住，那個 $ q_1 = q_2 = q_c $ 已經是納什均衡了。現在，讓企業 1 偏離均衡並減少產量：
$ \pi_1 = (a-b( \frac{a-c}{3b} + \frac{a-c}{3b} - \epsilon) - c) \cdot (\frac{a-c}{3b} - \epsilon = \frac{(a-c)^2}{9b} - b\epsilon^2 < \pi_{cournot} $ ,
因此，公司 1 減少生產是沒有任何意義的。
2.b。證明生產多於古諾比古諾差，因為廠商 2 會以更高的數量做出反應：
$ \pi_1 = (a-b(\frac{a-c}{3b} + \epsilon + \frac{a-c}{3b} + \delta) - c)(\frac{a-c}{3b} + \epsilon) = (\frac{a-c}{3} - b\epsilon - b\delta)(\frac{a-c}{3b} + \epsilon) = \frac{(a-c)^2}{9b} - b \epsilon^2 - \frac{a-c}{3b} b \delta - b\delta\epsilon< \frac{(a-c)^2}{9b} = \pi_{cournot} $
因此，我們得出以下策略配置文件：
{ $ q_1 = \frac{a-c}{3b} $ ; $ q_2(q_1) = \begin{cases} q_c, & q_1 = q_c \ q_c+\epsilon, \forall\epsilon>0&q_1\neq q_c \end{cases} } $
是一個納什均衡。也就是說，公司 2 的不可信威脅，如果公司 1 不遵守規則，就會威脅兩家公司破產，它起作用並迫使公司 1 遵守古諾規則，即使它具有先發優勢.
(A)部分的答案是肯定的。
現在，我們必須檢查這個策略配置文件是否是 Subgame-Perfect。（回想一下，我們沒有被要求解決所有子博弈完美均衡，只需檢查現有的）。
- 證明在適當的子博弈中，該策略不是納什均衡。
現在，我們將證明這種威脅是不可信的。要做到這一點，確定唯一合適的子博弈：企業 2 選擇給定企業 1 選擇的數量的子博弈已經做出。
假設公司 1 沒有聽從公司 2 的威脅並決定生產比古諾更多的產品 $ q_1 = q_c + \epsilon $ . 現在，如果公司 2 信守承諾並遵守自己的規則，它的產量也將超過古諾： $ q_2 = q_c + \delta $ . 但隨後我們重複 2.b 的等式，發現公司 2 信守承諾並生產比生產更多產品的利潤更少 $ q_c $ . 並且由於公司的唯一目標是最大化利潤，我們得出結論，公司 2 違背了它的承諾並且沒有使兩家公司破產。也就是說，公司 1 享有先發優勢，而公司 2 則順其自然。
(b) 的答案是否定的。廠商 2 的策略不是子博弈中的納什均衡，它選擇數量。